《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

当 $PR\perp BQ$ 时，$PR^2$ 取得最小值 $\frac{9}{5}$；当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，$PR^2$ 取得最大值 $5$。故 $\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PD}$ 的取值范围为 $[\frac{4}{5}, 4]$。

答案： $[\frac{4}{5}, 4]$

$O$ 是平面上一定点，$A$，$B$，$C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$，$\lambda\in0, +\infty)$，则点 $P$ 的轨迹一定过 $\triangle ABC$ 的内心。

答案： 内心（题目已给答案内容，此处按要求格式填空无实质新答案内容，若按题设填空形式对应应理解为填“内心”相关选择表征，因题目特殊形式，此处明确按要求体现答案对应为内心相关） 严格按题要求填：内心对应选择项（假设内心对应选项为A等，因原题无选项，按答案内容本质此处明确为内心，按题目要求格式填答案为内心所对应题设选项标识，若题设选项为文字则填“内心”，若为字母等则填对应字母，根据题目给定答案形式，此处填对应答案标识） ，本题按特殊处理填“内心”对应答案形式为文字则答案填内心（若原题有选项设置，此处按要求填选项字母等，因原题无，按本质填答案内容对应文字）。严格按题要求，本题答案填“内心”（若题选项为A.内心等，则填A，此处按题目给定答案形式填内容）。根据题目要求，答案填“内心”对应题设答案形式，填内心。

母题 1 向量数量积的运算
例 1(1)(全国乙卷)已知向量 $a$，$b$ 满足 $|a| = 1$，$|b| = \sqrt{3}$，$|a - 2b| = 3$，则 $a· b =$(1)
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案：
(1)
由$\vert\vec{a}-2\vec{b}\vert = 3$，得$\vert\vec{a}-2\vec{b}\vert^{2}=(\vec{a}-2\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}-4\vec{a}·\vec{b}+4\vec{b}^{2}=9$。
已知$\vert\vec{a}\vert = 1$，$\vert\vec{b}\vert=\sqrt{3}$，则$1 - 4\vec{a}·\vec{b}+4×(\sqrt{3})^{2}=9$，
$1 - 4\vec{a}·\vec{b}+12 = 9$，
$4\vec{a}·\vec{b}=4$，
$\vec{a}·\vec{b}=1$。
答案选C。

(2)如图，在同一平面内以平行四边形 $ABCD$ 的两边 $AB$，$AD$ 为斜边分别向外作等腰直角三角形 $ABE$，等腰直角三角形 $ADF$。若 $AB = 2$，$AD = 1$，$\angle BAD = \frac{\pi}{4}$，则 $\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{EF} =$(-\frac{3}{2})


A.$\frac{3}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D.$-\frac{3\sqrt{2}}{2}$

答案：
(2)
因为$\triangle ABE$，$\triangle ADF$都是等腰直角三角形，$AB = 2$，$AD = 1$，$\angle BAD=\frac{\pi}{4}$，$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AE}$，所以$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AF}=0$，$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AE}=0$，$AF = DF=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AE = BE=\sqrt{2}$。
$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AF}=\vert\overrightarrow{AD}\vert\vert\overrightarrow{AF}\vert\cos\frac{\pi}{4}=1×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$，
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AE}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AE}\vert\cos\frac{\pi}{4}=2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$。
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}$，
$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})·(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE})=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$。
答案选B。

(3)如图，正六边形的边长为 $2$，圆 $O$ 的圆心为正六边形的中心，半径为 $1$。若点 $M$ 在正六边形的边上运动，动点 $A$，$B$ 在圆 $O$ 上运动且关于圆心 $O$ 对称，则 $\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}$ 的取值范围是[2,3]。

答案：
(3)
连接$AB$，$OM$，$\vert\overrightarrow{MO}\vert\in[\sqrt{3},2]$。
$\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})·(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})·(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{OA})=\vert\overrightarrow{MO}\vert^{2}-\vert\overrightarrow{OA}\vert^{2}=\vert\overrightarrow{MO}\vert^{2}-1$。
当$\vert\overrightarrow{MO}\vert=\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}=3 - 1 = 2$；当$\vert\overrightarrow{MO}\vert=2$时，$\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}=4 - 1 = 3$。
所以$\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}$的取值范围是$[2,3]$。