《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 3 等差数列性质的应用 5 年 5 考
例 3 (1) 在等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中，若 $a_{1}-a_{5}+a_{7}-a_{11}+a_{15}=\frac{\pi}{3}$，则 $\tan(a_{5}+a_{9})=$(C)
A. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{3}$
C. $-\sqrt{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2) 在等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中，$a_{1}=1,a_{9}=21$，则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 的值为33。
(3) 已知 $\{ a_{n}\}$ 为等差数列，$a_{15}=8,a_{60}=20$，则 $a_{75}=$24。
解析 (1) 由等差数列的性质，知 $a_{1}+a_{15}=a_{5}+a_{11}$，所以 $a_{1}-a_{5}+a_{7}-a_{11}+a_{15}=a_{7}=\frac{\pi}{3}$，
所以 $\tan(a_{5}+a_{9})=\tan(2a_{7})=\tan\frac{2\pi}{3}=-\tan\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}$。
(2) 因为 $a_{1}=1,a_{9}=21$，所以 $2a_{5}=a_{1}+a_{9}=22$，所以 $a_{5}=11$，所以 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=3a_{5}=33$。
(3) 方法 1：设数列 $\{ a_{n}\}$ 的公差为 $d$，则 $a_{60}=a_{15}+(60 - 15)d=8+45d = 20$，
所以 $d=\frac{20 - 8}{45}=\frac{4}{15}$，所以 $a_{75}=a_{60}+(75 - 60)d=20+15×\frac{4}{15}=24$。
方法 2：因为 $\{ a_{n}\}$ 为等差数列，所以 $a_{15},a_{30},a_{45},a_{60},a_{75}$ 也成等差数列，设其公差为 $d,a_{15}$ 为首项，则 $a_{60}$ 为第四项，所以 $a_{60}=a_{15}+3d$，解得 $d = 4$，所以 $a_{75}=a_{60}+d = 24$。
答案 (1)C (2)33 (3)24
方法提炼 对于等差数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质进行求解，这样可以减少运算量，提高运算速度。

答案：
(1) C
(2) 33
(3) 24

母题 4 等差数列单调性的应用
例 4 (多选) 下列是关于等差数列 $\{ a_{n}\}$(公差 $d\gt 0$) 的四个命题，其中真命题为(AD)

A.数列 $\{ a_{n}\}$ 是递增数列
B.数列 $\{ na_{n}\}$ 是递增数列
C.数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 是递增数列
D.数列 $\{ a_{n}+3nd\}$ 是递增数列
解析 因为 $d\gt 0$，即 $a_{n + 1}-a_{n}=d\gt 0$，所以数列 $\{ a_{n}\}$ 是递增数列，故 A 正确。$na_{n}=n[a_{1}+(n - 1)d]=dn^{2}+(a_{1}-d)n$(关于 $n$ 的二次函数型)，当 $n\lt\frac{d - a_{1}}{2d}$ 时，数列 $\{ na_{n}\}$ 不是递增数列，故 B 不正确。$\frac{a_{n}}{n}=d+\frac{a_{1}-d}{n}$(关于 $n$ 的反比例函数型)，当 $a_{1}-d\gt 0$ 时，$\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 不是递增数列，故 C 不正确。$a_{n}+3nd=4nd+a_{1}-d$(关于 $n$ 的一次函数型)。因为 $d\gt 0$，所以 $\{ a_{n}+3nd\}$ 是递增数列，故 D 正确。
答案 AD

答案： AD

母题 5 等差数列的实际应用
例 5 “孙子定理” 又称 “中国剩余定理”，讲的是一个关于整除的问题。现有这样一个整除问题：在 1 到 2019 这 2019 个数中，将能被 3 除余 2 且被 5 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 $\{ a_{n}\}$，则在此数列的所有项中，中间项的值为(C)

A.992
B.1022
C.1007
D.1037
解析 由题意可知，$a_{n}-2$ 既是 3 的倍数，又是 5 的倍数，所以 $a_{n}-2$ 是 15 的倍数，即 $a_{n}-2=15(n - 1)$，所以 $a_{n}=15n - 13$。
当 $n = 135$ 时，
$a_{135}=15× 135-13=2012\lt 2019$；
当 $n = 136$ 时，
$a_{136}=15× 136-13=2027\gt 2019$。
故 $n = 1,2,3,·s,135$，数列 $\{ a_{n}\}$ 共有 135 项。
因此数列的中间项为第 68 项，$a_{68}=15× 68-13=1007$。
故中间项的值为 1007。
答案 C

答案： C