《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题2L问题__________________年7考瓤
例2(1)已知点P在椭圆16′+²4=
1上,F1与F2分别为左、右焦点，
若∠F1PF2=$\frac{2π}{3}$,则△F1PF2的面积为
(A)
A.4√3 B.6√3 C.8√3 D.13√3
(2)(全国甲卷)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:$\frac{x²}{9}$+辽6=1的两个焦点,点P在C上,
cos∠FlPF2=$\frac{3}{5}$,则|OP|= (B)
A.$\frac{13}{5}$ B.$\frac{√30}{2}$ C.$\frac{14}{5}$ D.$\frac{√35}{2}$
解析(1)由题意，得
|PF1|+|PF2|=8,
{cos∠FPF=
$\frac{|PF|²+|PF2|²−|FF2|²}{2|PF||PF}$,且|F1F2|=4√3,解得|PF1||PF2|=16,所
以S△F,PF=$\frac{1}{2}$|PF1||PF2|sin∠FlPF=
$\frac{1}{2}$×16×$\frac{√3}{2}$=4√3.
(2)方法1:设∠F1PF2=20,0＜θ＜$\frac{π}{2}$,所以
S△PF,F=b²tan$\frac{FPF}{2}$=b²tan0.
由cOS∠FlPF2=cOS2θ=$\frac{cos²0−−sin²0}{cos²θ+sin²0}$=
$\frac{1−tan²0}{1+tan²0}$=$\frac{3}{5}$,解得tanθ=$\frac{1}{2}$或tanθ=−$\frac{1}{2}$
(舍去).
由椭圆方程可知,a²=9,b²=6,c²=a²一
b²=3,
所以S△PFF=$\frac{1}{2}$|F1F2∣|yp|=$\frac{1}{2}$×2√3×
|yp|=6×$\frac{1}{2}$,解得y=3,
所以x²=9×(1−$\frac{3}{6}$)=$\frac{9}{2}$,所以|OP|=
√+=√$\frac{9}{2}$+3==$\frac{√30}{2}$.
方法2:由题意,得|PF|+|PF2|=2a=6,①
|PF1|²+|PF2|²−2|PF1||PF2|.
cos∠FlPF2=|FlF2|²,
即|PF|²+|PF2|²−$\frac{6}{5}$|PF||PF|=12,②
联立①②,解得|PF1||PF2|=$\frac{15}{2}$,|PF1|²+
|PF2|²=21.
因为PO=$\frac{1}{2}$(PF+PF2),所以|OP|=|PO|=
$\frac{1}{2}$IPF+PF1=
$\frac{1}{2}$√IPF1²+2PF.PF2+|PF2|2=
$\frac{1}{2}$x√21+2x$\frac{3}{5}$ $\frac{15}{2}$=$\frac{√30}{2}$.
方法3:由题意,得|PF|+|PF2|=2a=6,①
|PF1|²+|PF2|²−2|PF1||PF2|.
cos∠FlPF=|FlF2|²,
即|PF|²+|PF2|²−$\frac{6}{5}$|PF||PF|=12,②联立①②,解得|PF1|²+|PF2|²=21.
由平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边的平方和的两倍可知，(2|OP|)2+|F1F2|²=2(|PF1|²+|PF2|²)=42,由题意易知|F1F2|=2$\sqrt{3}$,解得|OP|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$.
答案(1)A (2)B

答案：
(1)由椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|=2a=8，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m+n=8。|F₁F₂|=2c=4√3，∠F₁PF₂=2π/3。由余弦定理：|F₁F₂|²=m²+n²-2mncos(2π/3)，m²+n²=(m+n)²-2mn=64-2mn，cos(2π/3)=-1/2，代入得(4√3)²=64-2mn+mn，即48=64-mn，解得mn=16。S△F₁PF₂=1/2mnsin(2π/3)=1/2×16×√3/2=4√3。答案：A
(2)椭圆C：x²/9+y²/6=1，a=3，b=√6，c=√3，|F₁F₂|=2√3。设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m+n=6。cos∠F₁PF₂=3/5，由余弦定理：|F₁F₂|²=m²+n²-2mn×3/5，m²+n²=36-2mn，代入得12=36-2mn-6mn/5，解得mn=15/2，m²+n²=21。由中线定理：(2|OP|)²+|F₁F₂|²=2(m²+n²)，即4|OP|²+12=42，|OP|=√30/2。答案：B