《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 4 不同函数的增长差异问题
例 8 (多选) 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发，向同一方向运动，其路程 $ f_{i}(x) $($ i = 1, 2, 3, 4 $)关于时间 $ x $($ x \geq 0 $)的函数解析式分别为甲：$ f_{1}(x) = 2^{x} - 1 $；乙：$ f_{2}(x) = x^{2} $；丙：$ f_{3}(x) = x $；丁：$ f_{4}(x) = \log_{2}(x + 1) $，则以下结论正确的是(BCD)

A.当 $ x ＞ 1 $ 时，甲走在最前面
B.当 $ 0 ＜ x ＜ 1 $ 时，丁走在最前面；当 $ x ＞ 1 $ 时，丁走在最后面
C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D.如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲

答案： BCD

母题 5 根据实际问题选择函数模型
例 9 我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂，制造时一般是期望它在达到最高点时爆裂。通过研究，发现某型烟花爆裂时距地面的高度 $ h $（单位：$ m $）与时间 $ t $（单位：$ s $）存在函数关系，并得到相关数据如下表所示。

(1) 根据上表数据，从下列函数 $ y_{1} = kt + b $，$ y_{2} = at^{2} + bt + c $，$ y_{3} = ab^{t} $ 中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度 $ h $ 与时间 $ t $ 的变化关系，确定此函数解析式，并简单说明理由；
(2) 利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度。

答案：
(1) 由表中数据可见，高度 $ h $ 随时间 $ t $ 的变化先增加后减少，因此选择二次函数模型 $ y_2 = at^2 + bt + c $。
将表中数据代入得到方程组：
$ \begin{cases}\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + c = 10, \\2^2a + 2b + c = 25, \\4a + 4b + c = 17.\end{cases} $
即：
$ \begin{cases}0.25a + 0.5b + c = 10, \\4a + 2b + c = 25, \\16a + 4b + c = 17.\end{cases} $
解得$ \begin{cases}a = -4, \\b = 20, \\c = 1.\end{cases} $
因此，函数解析式为$ h(t) = -4t^2 + 20t + 1 \quad (t \geq 0) $。
(2) 将函数 $ h(t) = -4t^2 + 20t + 1 $ 化为顶点式：
$h(t) = -4(t - \frac{5}{2})^2 + 26$，
当 $ t = 2.5 \, s $ 时，烟花达到最高点，即爆裂的最佳时刻，此时高度为 $ 26 \, m $。
所以，烟花冲出后第 $ 2.5 \, s $ 是爆裂的最佳时刻，此时距地面的高度为 $ 26 \, m $。