《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 1(1)已知$0\lt x\lt\frac{3}{2}$，当$x(3 - 2x)$取得最大值时，$x$的值为(D)
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案：
(1)D

(2)已知$x\lt\frac{5}{4}$，则$y = 4x - 2+\frac{1}{4x - 5}$的最大值为1。

答案：
(2)1

例 2 函数$y=\frac{x^{2}+x + 3}{x - 2}$($x\gt2$)的最小值为11。

答案： 解答过程
$\begin{aligned}y&=\frac{x^{2}+x + 3}{x - 2}\\&=\frac{(x - 2)^{2}+5(x - 2)+9}{x - 2}\\&=x - 2+\frac{9}{x - 2}+5\end{aligned}$
$\because x\gt2$，$\therefore x - 2\gt0$，由基本不等式得：
$y\geqslant 2\sqrt{(x - 2)·\frac{9}{x - 2}}+5 = 11$
当且仅当$x - 2=\frac{9}{x - 2}$，即$x = 5$时，等号成立。
最终结论
11

例 3 若$x$，$y$为正数，则$(x+\frac{1}{2y})^{2}+(y+\frac{1}{2x})^{2}$的最小值为4。

答案： 4