《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 求直线的倾斜角
例 1 (1)(多选)若直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，其倾斜角为 $\alpha$，直线 $l$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ 后得到直线 $l_1$，则直线 $l_1$ 的倾斜角可能为(BC)
A.$\alpha + 45^{\circ}$
B.$\alpha + 135^{\circ}$
C.$\alpha - 45^{\circ}$
D.$135^{\circ}-\alpha$

答案：
(1)BC

$(2)$设直线$ l $的斜率为$ k，$且$ -1\leq k＜\sqrt{3}，$则直线$ l $的倾斜角$ \alpha $的取值范围为　　$[0,\frac{π}{3})∪[\frac{3π}{4},π]$。　　

答案： $[0,\frac{π}{3})∪[\frac{3π}{4},π]$

例 2 已知点 $A(-2,1)$，$B(2,3)$，$C(1,-1)$，直线 $l$ 经过点 $C$ 且与线段 $AB$ 相交，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围。

答案： 由题意得：
$k_{AC} = \frac{-1 - 1}{1 - (-2)} = -\frac{2}{3}$，
$k_{BC} = \frac{-1 - 3}{1 - 2} = 4$，
当直线$l$从$CB$变化到与$x$轴垂直时，斜率$k \geq k_{BC} = 4$，
当直线$l$从$x$轴垂直变化到$AC$时，斜率$k \leq k_{AC} = -\frac{2}{3}$，
所以，直线$l$的斜率$k$的取值范围是：
$(-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [4, +\infty)$。