《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 2 利用空间向量证明垂直关系
例 3 如图，已知正方形 $ ABCD $ 和矩形 $ ACEF $ 所在的平面互相垂直，$ AB=\sqrt{2} $，$ AF = 1 $，$ M $ 是线段 $ EF $ 的中点。
(1) 求证：$ AM\perp BD $；
(2) 求证：$ AM\perp $ 平面 $ BDF $。

答案：
(1)证明：
因为平面$ABCD\perp$平面$ACEF$，交线为$AC$，且$CE\perp AC$，$CE\subset$平面$ACEF$，所以$CE\perp$平面$ABCD$。以$C$为原点，$CD,CB,CE$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系。
由$AB=\sqrt{2}$，$AF=1$，得$A(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$，$B(0,\sqrt{2},0)$，$D(\sqrt{2},0,0)$，$M\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$。
则$\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$，$\overrightarrow{BD}=(\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$。
$\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{BD}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)×\sqrt{2}+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)×(-\sqrt{2})+1×0=-1+1+0=0$，故$AM\perp BD$。
(2)证明：
由
(1)得$\overrightarrow{DF}=(0,\sqrt{2},1)$。设平面$BDF$的法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{BD}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{DF}=\sqrt{2}y+z=0\end{cases}$，解得$x=y$，$z=-\sqrt{2}y$。取$y=1$，得$\boldsymbol{n}=(1,1,-\sqrt{2})$。
又$\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$，则$\boldsymbol{n}=-\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$，即$\boldsymbol{n}//\overrightarrow{AM}$，故$AM\perp$平面$BDF$。