《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

(多选)若函数 $ f(x) = 3\sin(2x - \frac{\pi}{3}) $ 的图象为 $ C $，则下列结论正确的是(ABC)

A.图象 $ C $ 关于直线 $ x = \frac{11\pi}{12} $ 对称
B.图象 $ C $ 关于点 $ (\frac{2\pi}{3},0) $ 对称
C.函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}) $ 上单调递增
D.由 $ y = 3\sin 2x $ 的图象向右平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度可以得到图象 $ C $

答案： ABC

母题1 三角函数的图象变换 5年6考
例1(1)(全国乙卷)把函数 $ y = f(x) $ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $ \frac{1}{2} $ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度，得到函数 $ y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) $ 的图象，则 $ f(x) = $(B)
A.$ \sin(\frac{x}{2} - \frac{7\pi}{12}) $
B.$ \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12}) $
C.$ \sin(2x - \frac{7\pi}{12}) $
D.$ \sin(2x + \frac{\pi}{12}) $

答案：
(1)
逆向变换，首先将函数$y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，得到：
$y = \sin(x + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{\pi}{12})$。
接着将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到：
$f(x) = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12})$。
故答案为：B. $\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12})$。

(2)把函数 $ y = \cos(3x + \frac{\pi}{4}) $ 的图象适当变换就可以得到 $ y = \sin(-3x) $ 的图象，这种变换可以是(D)
A.向右平移 $ \frac{\pi}{4} $ 个单位长度
B.向左平移 $ \frac{\pi}{4} $ 个单位长度
C.向右平移 $ \frac{\pi}{12} $ 个单位长度
D.向左平移 $ \frac{\pi}{12} $ 个单位长度

答案：
(2)
首先，利用三角函数的诱导公式，有：
$y = \sin(-3x) = \cos(3x + \frac{\pi}{2})$。
接着，考虑函数$y = \cos(3x + \frac{\pi}{4})$，可以将其写为：
$y = \cos[3(x - \frac{\pi}{12}) + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}] = \cos[3(x - \frac{\pi}{12}) + \frac{\pi}{2}]$，
（这里加上又减去的$\frac{\pi}{4}$是为了凑出平移的形式，实际不影响函数值）。
从上式可以看出，将函数$y = \cos(3x + \frac{\pi}{4})$的图象向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，即可得到$y = \cos(3x + \frac{\pi}{2}) = \sin(-3x)$的图象。
故答案为：D. 向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度。