《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3 已知 $ A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4) $，且 $ \overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{CB} $，求点 $ M,N $ 及向量 $ \overrightarrow{MN} $ 的坐标。
解：因为 $ A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4) $，所以 $ \overrightarrow{CA}=(1,8),\overrightarrow{CB}=(6,3) $。
设 $ M(x,y) $，则 $ \overrightarrow{CM}=(x + 3,y + 4) $。
由 $ \overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{CA} $，得 $ (x + 3,y + 4)=3(1,8) $，即 $ \begin{cases} x + 3 = 3, \\ y + 4 = 24, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 0, \\ y = 20, \end{cases} $ 即 $ M(0,20) $。
同理可得 $ N(9,2) $，所以 $ \overrightarrow{MN}=(9,-18) $。

答案： 已知 $ A(-2,4) $, $ B(3,-1) $, $ C(-3,-4) $。
1. 计算向量：
$\overrightarrow{CA} = A - C = (-2 - (-3), 4 - (-4)) = (1, 8)$
$\overrightarrow{CB} = B - C = (3 - (-3), -1 - (-4)) = (6, 3)$
2. 求点 $ M $ 的坐标：
设 $ M(x, y) $，则 $\overrightarrow{CM} = (x - (-3), y - (-4)) = (x + 3, y + 4)$
由 $\overrightarrow{CM} = 3\overrightarrow{CA}$，得 $(x + 3, y + 4) = 3(1, 8) = (3, 24)$
即 $\begin{cases} x + 3 = 3 \\ y + 4 = 24 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} x = 0 \\ y = 20 \end{cases}$，故 $ M(0, 20) $
3. 求点 $ N $ 的坐标：
设 $ N(a, b) $，则 $\overrightarrow{CN} = (a - (-3), b - (-4)) = (a + 3, b + 4)$
由 $\overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{CB}$，得 $(a + 3, b + 4) = 2(6, 3) = (12, 6)$
即 $\begin{cases} a + 3 = 12 \\ b + 4 = 6 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} a = 9 \\ b = 2 \end{cases}$，故 $ N(9, 2) $
4. 求向量 $\overrightarrow{MN}$ 的坐标：
$\overrightarrow{MN} = N - M = (9 - 0, 2 - 20) = (9, -18)$
综上，点 $ M $ 的坐标为 $(0, 20)$，点 $ N $ 的坐标为 $(9, 2)$，向量 $\overrightarrow{MN}$ 的坐标为 $(9, -18)$。

例 4 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ \angle B = 60^{\circ},AB = 4,BC = 8 $，且 $ \overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AB}=-4 $。

(1) 求实数 $ \lambda $ 的值；
(2) 若 $ M,N $ 是线段 $ BC $ 上的动点，且 $ |\overrightarrow{MN}| = 2 $，求 $ \overrightarrow{DM}·\overrightarrow{DN} $ 的最小值。

答案：
(1) $\lambda=\frac{1}{4}$；
(2) 最小值为 $11$。