《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例15如图,在海岸A处,发现北偏
西75°的方向，与A距离2海里的B________
处有一艘走私船,在A处北偏东
45°方向,与A距离($\sqrt{3}$−1)海里的C处的缉
私船奉命以10√3海里/时的速度追截走私
船.此时,走私船正以10海里/时的速度从B
处向北偏西30°方向逃窜，问:
(1)刚发现走私船时,缉私船距离走私船多
远？在走私船的什么方向？
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

答案：
(1) 由题意，$AB = 2$ 海里，$AC = \sqrt{3} - 1$ 海里，$\angle BAC = 75° + 45° = 120°$。
由余弦定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 · AB · AC · \cos 120°} = \sqrt{4 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2 · 2 · (\sqrt{3} - 1) · (-\frac{1}{2})} = \sqrt{6} (海里)$，
在 $\bigtriangleup ABC$ 中，由正弦定理得：
$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$，
即$\frac{2}{\sin \angle ACB} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得 $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为 $0° ＜ \angle ACB ＜ 60°$，所以 $\angle ACB = 45°$。
刚发现走私船时，缉私船距离走私船 $\sqrt{6}$ 海里，在走私船的正东方向。
(2) 设经过 $t$ 小时后，缉私船追上走私船。
由题意，得 $BD = 10t$ 海里，$CD = 10\sqrt{3}t$ 海里，$\angle DBC = 120°$。
在 $\bigtriangleup BCD$ 中，由正弦定理得：
$\sin \angle BCD = \frac{BD · \sin \angle DBC}{CD} = \frac{10t · \frac{\sqrt{3}}{2}}{10\sqrt{3}t} = \frac{1}{2}$，
因为 $\angle BCD$ 为锐角，所以 $\angle BCD = 30°$。
所以缉私船沿北偏西 $60°$ 的方向能最快追上走私船。