《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

已知函数 $ f(x) = 2\sin(\frac{\pi}{3}x + \varphi)(|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2}) $ 的图象经过点 $ (0,1) $，则该函数的振幅为2，周期 $ T $ 为6，频率为$\frac{1}{6}$，初相 $ \varphi $ 为$\frac{\pi}{6}$。

答案： 2 6 $\frac{1}{6}$ $\frac{\pi}{6}$

母题 1 已知函数模型解决实际问题
例 1 如图所示，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离 $ s(cm) $ 随时间 $ t(s) $ 的变化曲线是一个三角函数的图象。
(1) 经过多长时间，小球往复振动一次？
(2) 求这条曲线的函数解析式。
(3) 小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？

答案：
(1) 由图象可知，函数周期 $ T = 2×\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) = \pi \, s $，故经过 $ \pi \, s $，小球往复振动一次。
(2) 设函数解析式为 $ s = A\sin(\omega t + \varphi) $（$ A ＞ 0, \omega ＞ 0, -\pi ＜ \varphi \leq \pi $）。
由图象得 $ A = 4 $，$ T = \pi $，则 $ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2 $。
图象过点 $ \left(\frac{\pi}{12}, 4\right) $，代入得 $ 4 = 4\sin\left(2×\frac{\pi}{12} + \varphi\right) $，即 $ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \varphi\right) = 1 $。
解得 $ \frac{\pi}{6} + \varphi = 2k\pi + \frac{\pi}{2} $（$ k \in \mathbf{Z} $），$ \varphi = 2k\pi + \frac{\pi}{3} $。
由 $ -\pi ＜ \varphi \leq \pi $，取 $ k = 0 $，得 $ \varphi = \frac{\pi}{3} $。
故函数解析式为 $ s = 4\sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) $。
(3) 当 $ t = 0 $ 时，$ s = 4\sin\left(0 + \frac{\pi}{3}\right) = 4×\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, cm $。