《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例8 已知函数 $ y = ( a - 1 ) ^ { x } $ 是指数函数，解关于 $ x $ 的不等式：$ \left( \frac { 1 } { a } \right) ^ { | 3 x - 4 | } ＞ \left( \frac { 1 } { a } \right) ^ { 3 } $。

答案： 答题卡作答：
$\because$函数$y = (a - 1)^{x}$是指数函数，
$\therefore a - 1 ＞ 0$且$a - 1 \neq 1$，
即$a ＞ 1$且$a \neq 2$，
$\therefore 0 ＜ \frac{1}{a} ＜ 1$，
$\therefore$指数函数$y = \left( \frac{1}{a} \right)^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，
$\therefore$原不等式$\left( \frac{1}{a} \right)^{|3x - 4|} ＞ \left( \frac{1}{a} \right)^{3}$可转化为$|3x - 4| ＜ 3$，
即$-3 ＜ 3x - 4 ＜ 3$，
解得$\frac{1}{3} ＜ x ＜ \frac{7}{3}$，
故原不等式的解集为$\left\{ x\left| \frac{1}{3} ＜ x ＜ \frac{7}{3} \right. \right\}$。

例9 已知函数 $ f ( x ) = \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { x ^ { 2 } - 2 x } $。
（1）求 $ f ( x ) $ 的单调递增区间；
（2）当 $ x \in [ - 1, 2 ] $ 时，求 $ f ( x ) $ 的值域。

答案： 解：（1）令 $ t = x ^ { 2 } - 2 x $，则 $ f ( x ) = h ( t ) = \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { t } $。
$ \because h ( t ) = \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { t } $ 在定义域内单调递减，$ t = x ^ { 2 } - 2 x $ 在 $ ( - \infty, 1 ] $ 上单调递减，在 $ [ 1, + \infty ) $ 上单调递增，$ \therefore f ( x ) $ 的单调递增区间为 $ ( - \infty, 1 ] $。
（2）令 $ t = x ^ { 2 } - 2 x $，则 $ f ( x ) = h ( t ) = \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { t } $。
$ \because - 1 \leq x \leq 2 $，$ \therefore t = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 1 $ 在 $ [ - 1, 1 ) $ 上单调递减，在 $ ( 1, 2 ] $ 上单调递增，$ \therefore t _ { \min } = - 1, t _ { \max } = 3 $，$ \therefore t \in [ - 1, 3 ] $，$ \therefore f ( x ) $ 的值域为 $ \left[ \frac { 1 } { 27 }, 3 \right] $。

例10 已知函数 $ y = \left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { x } - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { x } + 1 $ 的定义域为 $ [ - 3, 2 ] $。求：
（1）函数的单调区间；
（2）函数的值域。

答案： （1）令$ t = \left( \frac{1}{2} \right)^x $，则$ y = t^2 - t + 1 = \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} $。
$ t = \left( \frac{1}{2} \right)^x $在$[-3, 2]$上单调递减，且$ t \in \left[ \frac{1}{4}, 8 \right] $。
$ y = t^2 - t + 1 $对称轴为$ t = \frac{1}{2} $，在$ t \in \left( -\infty, \frac{1}{2} \right] $单调递减，$ t \in \left[ \frac{1}{2}, +\infty \right) $单调递增。
当$ x \in [-3, 1] $时，$ t \in \left[ \frac{1}{2}, 8 \right] $，$ y $随$ t $递增，$ t $随$ x $递减，故$ y $随$ x $递减；
当$ x \in [1, 2] $时，$ t \in \left[ \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right] $，$ y $随$ t $递减，$ t $随$ x $递减，故$ y $随$ x $递增。
单调递增区间为$[1, 2]$，单调递减区间为$[-3, 1]$。
（2）由（1）知$ t \in \left[ \frac{1}{4}, 8 \right] $，$ y = \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} $。
当$ t = \frac{1}{2} $时，$ y_{\min} = \frac{3}{4} $；当$ t = 8 $时，$ y_{\max} = 8^2 - 8 + 1 = 57 $。
值域为$\left[ \frac{3}{4}, 57 \right]$。