《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 2 等差数列的证明 5 年 1 考
例 2 数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=4,4a_{n}a_{n + 1}+1=3a_{n}+a_{n + 1}$。
(1) 求 $a_{2},a_{3}$；
(2) 证明 $\left\{\frac{1}{2a_{n}-1}\right\}$ 是等差数列，并求数列 $\{ a_{n}\}$ 的通项公式。
解：(1) 由 $a_{1}=1,4a_{n}a_{n + 1}+1=3a_{n}+a_{n + 1}$，得 $4a_{2}+1=3+a_{2},4a_{2}a_{3}+1=3a_{2}+a_{3}$，解得 $a_{2}=\frac{2}{3},a_{3}=\frac{3}{5}$。
(2) 由已知，得 $a_{n + 1}=\frac{3a_{n}-1}{4a_{n}-1}$。因为 $\frac{1}{2a_{n + 1}-1}-\frac{1}{2a_{n}-1}=\frac{1}{2·\frac{3a_{n}-1}{4a_{n}-1}-1}-\frac{1}{2a_{n}-1}=\frac{4a_{n}-1}{2(3a_{n}-1)-(4a_{n}-1)}-\frac{1}{2a_{n}-1}=\frac{4a_{n}-1}{2a_{n}-1}-\frac{1}{2a_{n}-1}=2,\frac{1}{2a_{1}-1}=\frac{1}{2 - 1}=1$，所以 $\left\{\frac{1}{2a_{n}-1}\right\}$ 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以 $\frac{1}{2a_{n}-1}=2n - 1$，解得 $a_{n}=\frac{n}{2n - 1}$。

答案：
(1) 当 $ n=1 $ 时，由 $ 4a_{1}a_{2}+1=3a_{1}+a_{2} $ 及 $ a_{1}=4 $，得 $ 4×4a_{2}+1=3×4+a_{2} $，即 $ 16a_{2}+1=12+a_{2} $，解得 $ a_{2}=\frac{11}{15} $。
当 $ n=2 $ 时，由 $ 4a_{2}a_{3}+1=3a_{2}+a_{3} $ 及 $ a_{2}=\frac{11}{15} $，得 $ 4×\frac{11}{15}a_{3}+1=3×\frac{11}{15}+a_{3} $，即 $ \frac{44}{15}a_{3}+1=\frac{11}{5}+a_{3} $，解得 $ a_{3}=\frac{18}{29} $。
(2) 由 $ 4a_{n}a_{n+1}+1=3a_{n}+a_{n+1} $，得 $ a_{n+1}=\frac{3a_{n}-1}{4a_{n}-1} $。
设 $ b_{n}=\frac{1}{2a_{n}-1} $，则 $ b_{n+1}-b_{n}=\frac{1}{2a_{n+1}-1}-\frac{1}{2a_{n}-1} $。
因为 $ 2a_{n+1}-1=2×\frac{3a_{n}-1}{4a_{n}-1}-1=\frac{6a_{n}-2-4a_{n}+1}{4a_{n}-1}=\frac{2a_{n}-1}{4a_{n}-1} $，所以 $ b_{n+1}=\frac{4a_{n}-1}{2a_{n}-1} $。
故 $ b_{n+1}-b_{n}=\frac{4a_{n}-1}{2a_{n}-1}-\frac{1}{2a_{n}-1}=\frac{4a_{n}-2}{2a_{n}-1}=2 $。
又 $ b_{1}=\frac{1}{2a_{1}-1}=\frac{1}{2×4-1}=\frac{1}{7} $，所以 $ \left\{\frac{1}{2a_{n}-1}\right\} $ 是以 $ \frac{1}{7} $ 为首项，2 为公差的等差数列。
因此 $ \frac{1}{2a_{n}-1}=\frac{1}{7}+2(n-1)=2n-\frac{13}{7} $，解得 $ a_{n}=\frac{7n-3}{14n-13} $。