《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3 如图，在正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA₁ 的中点，求证：CE，D₁F，DA 三线共点。

答案： 证明：延长$D_1F$与$DA$交于点$P$。
∵$P\in DA$，$DA\subset$平面$ABCD$，
∴$P\in$平面$ABCD$。
∵$F$是$AA_1$的中点，$FA// D_1D$，
∴在$\triangle PD_1D$中，$\frac{PA}{PD}=\frac{FA}{D_1D}=\frac{1}{2}$，即$PA=\frac{1}{2}PD$，故$A$为$DP$中点。
连接$CP$，
∵$AB// DC$，$A$为$DP$中点，$E$为$AB$中点，
∴$CP\cap AB=E$。
∵$P\in D_1F$，$P\in DA$，$P\in CE$，
∴$CE$，$D_1F$，$DA$三线共点于$P$。

例 4 如图，在三棱锥 A - BCD 中，侧棱和底面边长均为 6，H，G 分别是 AD，CD 的中点，E，F 分别是 AB，BC 上的点，且 $\frac{CF}{FB} = \frac{AE}{EB} = \frac{1}{3}$。
(1) 求证：E，F，G，H 四点共面；
(2) 设直线 EH 与 FG 相交于一点 P，证明：点 P 一定在直线 BD 上。

答案：
(1)
连接 $EF$，$HG$，
$\because \frac{CF}{FB} = \frac{AE}{EB} = \frac{1}{3}$,且 $AB = BC$，
$\therefore EF// AC$，
$\because H$,$G$ 分别为 $AD$,$CD$ 的中点,
$\therefore HG// AC$，
$\therefore HG// EF$，
$\therefore E$,$F$,$G$,$H$ 四点共面。
(2)
$\because EH \cap FG = P$，
$\therefore P \in EH$, 且 $P \in FG$，
又 $EH \subset $平面$ABD$， $FG \subset $平面$BCD$，
$\therefore P \in$ 平面$ABD$, 且 $P \in$ 平面$BCD$,
$\because 平面ABD \cap 平面BCD = BD$,
$\therefore P \in BD$,
即点 $P$ 一定在直线 $BD$ 上。

例 5 已知 a//b//c，l∩a = A，l∩b = B，l∩c = C。求证：直线 a，b，c 和 l 共面。

答案： 证明：方法1：
∵a//b，
∴a，b确定平面α。
∵l∩a=A，l∩b=B，
∴A∈α，B∈α，
∴l⊂α。
∵a//c，
∴a，c确定平面β。
∵l∩a=A，l∩c=C，
∴A∈β，C∈β，
∴l⊂β。
∵a⊂α，a⊂β，l⊂α，l⊂β，且a∩l=A，
∴α与β重合，
∴a，b，c和l共面。
方法2：
∵a//b，
∴a，b确定平面α。
∵l∩a=A，l∩b=B，
∴A∈α，B∈α，
∴l⊂α。
∵b//c，
∴b，c确定平面β。
∵l∩b=B，l∩c=C，
∴B∈β，C∈β，
∴l⊂β。
∵b⊂α，b⊂β，l⊂α，l⊂β，且b∩l=B，
∴α与β重合，
∴a，b，c和l共面。

母题 3 异面直线的判定

例 6 如图，在三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，底面三角形 A₁B₁C₁ 是正三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述正确的是(C)

A.CC₁ 与 B₁E 是异面直线
B.CC₁ 与 AE 是共面直线
C.AE 与 B₁C₁ 是异面直线
D.AE 与 BB₁ 是共面直线

答案： C