《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例14(1)已知函数f(x)=ax²+
(b−3)x+3在区间x∈[a−1,a+
3]上是偶函数,则a=-1,名师讲题
b=3;
(2)已知函数f(x)={a2xx−+b1,,xx＞＜00,为奇函数,则a十b=3.

答案：
(1)-1 3
(2)3

例15(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−4)=一f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则(B)
A.f(−3)＜f(3)＜f(4)
B.f(−3)＜f(4)＜f(3)
C.f(3)＜f(4)＜f(−3)
D.f(4)＜f(3)＜f(−3)
(2)已知函数f(x)在定义域[−1,1]上既是奇函数,又是减函数.若f(1−a²)+f(1-a)＜0,则实数a的取值范围为[0,1).

答案：
(1)
依题意，因为$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，则$f(0)=0$，$f(-x)= - f(x)$。
又$f(x - 4)= - f(x)$，所以$f(-3)=f(1 - 4)= - f(1)=f(-1)= - f(1)$，$f(4)=f(0 + 4)= - f(0)=0$。
因为函数$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递增，所以$f(1)\gt f(0)=0$。
则$f(-3)= - f(1)\lt0$，$f(3)= - f(-3)\gt0$。
所以$f(-3)\lt f(4)\lt f(3)$，答案选B。
(2)
因为$f(x)$在定义域$[-1,1]$上既是奇函数，又是减函数，$f(1 - a^{2})+f(1 - a)\lt0$可化为$f(1 - a^{2})\lt - f(1 - a)=f(a - 1)$。
则$\begin{cases}-1\leqslant1 - a^{2}\leqslant1\\-1\leqslant a - 1\leqslant1\\1 - a^{2}\gt a - 1\end{cases}$
由$-1\leqslant1 - a^{2}\leqslant1$得$0\leqslant a^{2}\leqslant2$，即$-\sqrt{2}\leqslant a\leqslant\sqrt{2}$；
由$-1\leqslant a - 1\leqslant1$得$0\leqslant a\leqslant2$；
由$1 - a^{2}\gt a - 1$得$a^{2}+a - 2\lt0$，即$(a + 2)(a - 1)\lt0$，解得$-2\lt a\lt1$。
综合得$0\leqslant a\lt1$，所以实数$a$的取值范围为$[0,1)$。