《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例4已知抛物线E:A²=2px(p＞
0)的焦点为F,抛物线E上一点(3,
t)到焦点的距离为4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)过点F作直线L,交抛物线E于A,B两
点,若线段AB中点的纵坐标为−1,求直线
l的方程.
解:(1)由抛物线E:A²=2px(p＞0)可得,其
准线方程为x=−−
由抛物线的定义可得,3−(一{=4,解得
p=2,
所以抛物线E的方程为y²=4x.
(2)方法1:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则{yA²==44xxc12,,两式相减可得,y−逆=4(x−x2),所以(y1−y2)(y1+y2)=4(x1−x2).
因为线段AB中点的纵坐标为−1，
所以y1+y2=−2,
所以直线l的斜率k=yx−−y2.=$\frac{4}{y+y}$=
$\frac{4}{−2}$=−2.
因为焦点F的坐标为(1,0)，
所以直线l的方程为y=−2(x−1),
即2x+y−2=0.
方法2:由(1),得抛物线E的方程为y²=
4x,焦点F(1,0).由题意可知,直线l的斜率不为零，故可设直线l的方程为x=my+1.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x22,y2),x1≠x2,联立{xy²==m4yx+,1,消去x,整理，
得y²−4my−4=0,所以A＞0,y1+y2=4m.
因为线段AB中点的纵坐标为−1，
所以2 =$\frac{4m}{2}$=−1,解得m=−$\frac{1}{2}$,
所以直线l的方程为x=−$\frac{1}{2}$y+1,
即2x+y−2=0.
方法提炼“中点弦”问题的解题方法
(1)点差法:将两个交点的坐标代入抛物线
的方程作差，结合已知条件求斜率，再由点
斜式求解,
(2)传统法(根与系数的关系法);设直线方
程，并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得
关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数
的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标
的2倍，从而求斜率.

答案：
(1)
抛物线$E:y^{2}=2px(p\gt0)$，其准线方程为$x = -\frac{p}{2}$。
由抛物线定义，抛物线上一点到焦点距离等于到准线距离，已知抛物线$E$上一点$(3,t)$到焦点距离为$4$，则$3-(-\frac{p}{2}) = 4$，解得$p = 2$。
所以抛物线$E$的方程为$y^{2}=4x$。
(2)
方法一：
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$\begin{cases}y_{1}^{2}=4x_{1}\\y_{2}^{2}=4x_{2}\end{cases}$，两式相减得$y_{1}^{2}-y_{2}^{2}=4(x_{1}-x_{2})$，即$(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2}) = 4(x_{1}-x_{2})$。
因为线段$AB$中点纵坐标为$-1$，所以$y_{1}+y_{2}=-2$，则直线$l$的斜率$k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}=\frac{4}{-2}=-2$。
焦点$F(1,0)$，由点斜式得直线$l$的方程为$y=-2(x - 1)$，即$2x+y - 2=0$。
方法二：
由
(1)得抛物线$E$的方程为$y^{2}=4x$，焦点$F(1,0)$，设直线$l$的方程为$x = my+1$。
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，联立$\begin{cases}y^{2}=4x\\x = my + 1\end{cases}$，消去$x$得$y^{2}-4my - 4=0$，所以$y_{1}+y_{2}=4m$。
因为线段$AB$中点纵坐标为$-1$，所以$\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-1$，即$\frac{4m}{2}=-1$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
直线$l$的方程为$x=-\frac{1}{2}y + 1$，即$2x+y - 2=0$。
综上，答案为
(1)$y^{2}=4x$；
(2)$2x + y-2=0$。

母题4 问题________________5年5考?
例5 (全国乙卷)已知抛物线C:
x²=2py(p＞0)的焦点为F,且F
与圆M:x²+(y+4)²=1上点的距名师讲题
离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在圆M上,PA,PB是抛物线C
的两条切线,A,B是切点，求△PAB面积的
最大值.
解:(1)由已知,得抛物线C的焦点为F((,
纟),圆−心M的坐标为(0,−4),|FM|=
2+4,
所以F与圆M:x²+(y+4)²=1上点的距离
的最小值为2+4−1=4,解得p=2.
(2)由(1),知抛物线的方程为x²2=4y.设该
抛物线上一点点(Aoo,$\frac{x?}{4}$)处的切线方程为y一
$\frac{x²}{4}$=k'(x一xo).由{y−$\frac{x?}{4}$=k'(x−xo),得
x²=4y,
x²−4k’x−(x²−4k’xo)=0,则△=(−4k')²+4(x²−4k’x0)=0,解得k'=$\frac{xo}{2}$.设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得lPA:y=$\frac{1}{2}$x−$\frac{x²}{4}$,lPB:y=$\frac{x2}{2}$x−$\frac{xc²}{4}$,所以P($\frac{x+x}{2}$,$\frac{xx2}{4}$).
设lAB:y=kx十b,联立抛物线方程,消去y并整理,得x²−4kx−4b=0,所以△=16k²+16b＞0,即k²+b＞0,且x1+x2=4k,x1x2=
−4b,所以点P的坐标为(2k，−b).因为
[AB|= $\sqrt{1+k²}$.√(x+x2)²−4xx²=
$\sqrt{1+k²}$. $\sqrt{16k²+16b}$,点P到直线AB的
距离d=⊥2k$\sqrt{1+k²}$²+26⊥,所以S△PAB=$\frac{1}{2}$|AB|.
d=4(k²+b)².①
因为点P(2k,−b)在圆M:x²+(y+4)²=1 上,所以k²=$\frac{1−(b−4)²}{4}$,代入①,得S△PAB=
4×($\frac{−b²+12b−15}{4}$)+.又因为yP=−b∈
[−5,−3],所以当b=5时,S△PAB取最大值，
(S△PAB)max=20$\sqrt{5}$,即△PAB面积的最大值
为20 $\sqrt{5}$
方法提炼解决与抛物线有关的最值问题的
方法
(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体
现图形的几何特征及意义，则考虑利用图形
的性质来解决;同时注意利用抛物线的定
义，将抛物线上点到焦点的距离和到准线的
距离相互转化,如在求解抛物线上一点P与
焦点F和已知点M(点M在抛物线内部)的
距离之和的最小值问题时，先将PF转化为
点P到准线的距离，再利用点到直线距离中
垂线段最短的知识求解,
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一
种明确的函数关系，则可先建立目标函数，
再求这个函数的最值,

答案：
(1)$2$；
(2)$20\sqrt{5}$