《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例9判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x²+x²;
(2)f(x)=$\sqrt{x²+1}$+$\sqrt{1−x²}$;
(3)f(x)=$\frac{\sqrt{1−x²}}{2−|x+2|}$.
解:(1)f(x)=x²+x²的定义域为R,且
f(−x)=−x²+x²≠f(x),f(−x)≠
一f(x),所以f(x)为非奇非偶函数.
(2)f(x)=$\sqrt{x²+1}$+$\sqrt{1−x²}$的定义域为
[−1,1],且f(一x)=f(x),所以f(x)为偶
函数.
(3)由题意,得{12二x|x²+2≠0,
解得−1≤x≤1且x≠0,
即f(x)=$\frac{\sqrt{1−x²}}{2−|x+2|}$的定义域为[−1,0)U
(0,1],
所以f(x)=$\frac{\sqrt{1−x²}}{2−x−2}$ $\sqrt{1−2}$,f(−x)=
$\sqrt{1−x²}$x =一f(x),所以f(x)为奇函数.

答案：
(1)函数$f(x)=x^3+x^2$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称。计算$f(-x)=(-x)^3+(-x)^2=-x^3+x^2$，因为$f(-x)\neq f(x)$且$f(-x)\neq -f(x)$，所以$f(x)$为非奇非偶函数。
(2)要使函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{1-x^2}$有意义，需满足$1-x^2\geq0$，解得$-1\leq x\leq1$，定义域为$[-1,1]$，关于原点对称。计算$f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}+\sqrt{1-(-x)^2}=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{1-x^2}=f(x)$，所以$f(x)$为偶函数。
(3)要使函数$f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{2-|x+2|}$有意义，需满足$\begin{cases}1-x^2\geq0\\2-|x+2|\neq0\end{cases}$，解得$-1\leq x\leq1$且$x\neq0$，定义域为$[-1,0)\cup(0,1]$，关于原点对称。当$x\in[-1,0)\cup(0,1]$时，$|x+2|=x+2$，则$f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{2-(x+2)}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{-x}=-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$。计算$f(-x)=-\frac{\sqrt{1-(-x)^2}}{-x}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=-f(x)$，所以$f(x)$为奇函数。