《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 求双曲线的标准方程 5 年 9 考
例 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）焦点 $ F_1(-2,0),F_2(2,0) $，一个顶点为 $ (1,0) $；
（2）一个焦点为 $ (0,3) $，离心率为 3；
（3）一条渐近线为 $ 2x-3y=0 $，且过点 $ (1,-1) $；
（4）经过点 $ (3,-4\sqrt{2}) $，$ \left(\dfrac{9}{4},5\right) $；
（5）与椭圆 $ \dfrac{y^2}{25}+\dfrac{x^2}{16}=1 $ 有公共焦点，且过点 $ (-2,\sqrt{10}) $.
解：（1）设双曲线方程为 $ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $.
由题意可得，$ a^2+b^2=4 $，$ a=1 $，解得 $ b^2=3 $，
所以双曲线的标准方程为 $ x^2-\dfrac{y^2}{3}=1 $.
（2）设双曲线方程为 $ \dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $.
由题意可得，半焦距 $ c=3 $，$ \dfrac{c}{a}=3 $，故 $ a=1 $，所以 $ b^2=8 $，
所以双曲线的标准方程为 $ y^2-\dfrac{x^2}{8}=1 $.
（3）根据渐近线方程，设双曲线方程为 $ \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=\lambda(\lambda\neq0) $.
代入 $ (1,-1) $，得 $ \dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{4}=\lambda $，故 $ \lambda=-\dfrac{5}{36} $，
所以 $ \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=-\dfrac{5}{36} $，
所以双曲线的标准方程为 $ \dfrac{y^2}{\dfrac{5}{9}}-\dfrac{x^2}{\dfrac{5}{4}}=1 $.
（4）设双曲线方程为 $ mx^2+ny^2=1(mn＜0) $，
则 $ \begin{cases}9m+32n=1,\\\dfrac{81}{16}m+25n=1,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}m=-\dfrac{1}{9},\\n=\dfrac{1}{16},\end{cases} $
所以双曲线的标准方程为 $ \dfrac{y^2}{16}-\dfrac{x^2}{9}=1 $.
（5）因为椭圆 $ \dfrac{y^2}{25}+\dfrac{x^2}{16}=1 $ 的焦点坐标为 $ (0,\pm3) $，
所以由题意设所求双曲线的方程为 $ \dfrac{y^2}{25-m}-\dfrac{x^2}{m-16}=1(16＜m＜25) $.
因为双曲线过点 $ (-2,\sqrt{10}) $，
所以 $ \dfrac{10}{25-m}-\dfrac{4}{m-16}=1 $，整理，得 $ m^2-27m+140=0 $，解得 $ m=20 $ 或 $ m=7 $（舍去），
所以所求双曲线的标准方程为 $ \dfrac{y^2}{5}-\dfrac{x^2}{4}=1 $.

答案： （1）
设双曲线的标准方程为 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$。
已知 $a = 1$，$c = 2$，根据 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$，可得 $b^{2}=c^{2}-a^{2}=4 - 1 = 3$。
所以双曲线的标准方程为 $x^{2}-\dfrac{y^{2}}{3}=1$。
（2）
设双曲线的标准方程为 $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$。
已知 $c = 3$，$\dfrac{c}{a}=3$，则 $a = 1$。
根据 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$，可得 $b^{2}=9 - 1 = 8$。
所以双曲线的标准方程为 $y^{2}-\dfrac{x^{2}}{8}=1$。
（3）
设双曲线方程为 $\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{4}=\lambda(\lambda\neq0)$。
把点 $(1,-1)$ 代入可得 $\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{4}=\lambda$，解得 $\lambda=-\dfrac{5}{36}$。
则 $\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{4}=-\dfrac{5}{36}$，化简得 $\dfrac{y^{2}}{\dfrac{5}{9}}-\dfrac{x^{2}}{\dfrac{5}{4}}=1$。
所以双曲线的标准方程为 $\dfrac{y^{2}}{\dfrac{5}{9}}-\dfrac{x^{2}}{\dfrac{5}{4}}=1$。
（4）
设双曲线方程为 $mx^{2}+ny^{2}=1(mn\lt0)$。
则 $\begin{cases}m×3^{2}+n×(-4\sqrt{2})^{2}=1,\\m×(\dfrac{9}{4})^{2}+n×5^{2}=1.\end{cases}$即 $\begin{cases}9m + 32n = 1,\\\dfrac{81}{16}m+25n=1.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=-\dfrac{1}{9},\\n=\dfrac{1}{16}.\end{cases}$
所以双曲线的标准方程为 $\dfrac{y^{2}}{16}-\dfrac{x^{2}}{9}=1$。
（5）
椭圆 $\dfrac{y^{2}}{25}+\dfrac{x^{2}}{16}=1$ 的焦点坐标为 $(0,\pm3)$。
设所求双曲线的方程为 $\dfrac{y^{2}}{25 - m}-\dfrac{x^{2}}{m - 16}=1(16\lt m\lt25)$。
把点 $(-2,\sqrt{10})$ 代入可得 $\dfrac{10}{25 - m}-\dfrac{4}{m - 16}=1$。
整理得 $m^{2}-27m + 140 = 0$，解得 $m = 20$ 或 $m = 7$（舍去）。
所以所求双曲线的标准方程为 $\dfrac{y^{2}}{5}-\dfrac{x^{2}}{4}=1$。