《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例8 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的动点。四边形ABCD是扇形的内接矩形，记$∠COB=θ$，矩形ABCD的面积为S。
(1)当$θ=\frac{π}{6}$时，求矩形ABCD的面积S；
(2)求S关于角θ的解析式，并求S的最大值。

(1)$\frac{\sqrt{3}}{6}$
(2)$S=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin(2\theta+\frac{\pi}{6})-\frac{\sqrt{3}}{6}(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{3})$，$S$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$

答案：
(1)
在$Rt\triangle OBC$中，$OB = \cos\theta$，$BC=\sin\theta$。
在$Rt\triangle OAD$中，$\frac{DA}{OA}=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，$OA = \frac{\sqrt{3}}{3}DA=\frac{\sqrt{3}}{3}BC=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta$。
$AB=OB - OA=\cos\theta-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta$。
$S = AB· BC=(\cos\theta-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta)\sin\theta=\sin\theta\cos\theta-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin^{2}\theta$
$=\frac{1}{2}\sin2\theta-\frac{\sqrt{3}}{6}(1 - \cos2\theta)=\frac{1}{2}\sin2\theta+\frac{\sqrt{3}}{6}\cos2\theta-\frac{\sqrt{3}}{6}$
$=\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta+\frac{1}{2}\cos2\theta)-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin(2\theta+\frac{\pi}{6})-\frac{\sqrt{3}}{6}$。
当$\theta=\frac{\pi}{6}$时，$S=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin(2×\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6})-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。
(2)
$S=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin(2\theta+\frac{\pi}{6})-\frac{\sqrt{3}}{6}(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{3})$。
因为$0\lt\theta\lt\frac{\pi}{3}$，所以$\frac{\pi}{6}\lt2\theta+\frac{\pi}{6}\lt\frac{5\pi}{6}$。
当$2\theta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，即$\theta=\frac{\pi}{6}$时，$S$取最大值，$S_{max}=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。
综上，答案为：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
(2)$S=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin(2\theta+\frac{\pi}{6})-\frac{\sqrt{3}}{6}(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{3})$，$S_{max}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。