《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 4 平面与平面平行的判定
例 5 如图，在直三棱柱 ABC - A₁B₁C₁中，D，E 分别是 BC 与 B₁C₁的中点。求证：平面 A₁EB//平面 ADC₁。

答案： 证明：
∵直三棱柱中，B₁C₁//BC且B₁C₁=BC，D，E分别为BC，B₁C₁中点，
∴C₁E=DB且C₁E//DB，四边形C₁DBE为平行四边形，故EB//C₁D。
∵C₁D⊂平面ADC₁，EB⊄平面ADC₁，
∴EB//平面ADC₁。
连接DE，
∵D，E分别为BC，B₁C₁中点，
∴DE//B₁B且DE=B₁B。
又直三棱柱中B₁B//A₁A且B₁B=A₁A，
∴DE//A₁A且DE=A₁A，四边形EDAA₁为平行四边形，故A₁E//AD。
∵AD⊂平面ADC₁，A₁E⊄平面ADC₁，
∴A₁E//平面ADC₁。
∵A₁E∩EB=E，A₁E⊂平面A₁EB，EB⊂平面A₁EB，
∴平面A₁EB//平面ADC₁。

母题 5 平面与平面平行的性质
例 6 如图，在三棱柱 ABC - A₁B₁C₁中，D，D₁分别是 AC，A₁C₁上的点，若平面 BC₁D//平面 AB₁D₁，求 $\frac{AD}{DC}$ 的值。

答案： 连接 $A_1B$ 交 $AB_1$ 于点 $O$，连接 $D_1O$。
由棱柱的性质知，四边形 $A_1ABB_1$ 为平行四边形，所以 $O$ 为 $A_1B$ 的中点。
因为平面 $BC_1D //$ 平面 $AB_1D_1$，且平面 $A_1BC_1 \cap$ 平面 $BC_1D = BC_1$，平面 $A_1BC_1 \cap$ 平面 $AB_1D_1 = D_1O$，
所以 $BC_1 // D_1O$，
所以 $D_1$ 为 $A_1C_1$ 的中点，即 $D_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$。
因为平面 $BC_1D //$ 平面 $AB_1D_1$，且平面 $AA_1C_1C \cap$ 平面 $BC_1D = DC_1$，平面 $AA_1C_1C \cap$ 平面 $AB_1D_1 = AD_1$，
所以 $DC_1 // AD_1$。
又因为 $AD // D_1C_1$，
所以四边形 $ADC_1D_1$ 为平行四边形，
所以 $AD = C_1D_1 = \frac{1}{2}A_1C_1 = \frac{1}{2}AC$，
即 $D$ 为 $AC$ 的中点，
所以 $\frac{AD}{DC} = 1$。