《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 基本事实 4 与空间等角定理的综合应用
例 1 如图，已知棱长为 a 的正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁，M，N 分别是棱 CD，AD 的中点。求证：
(1)四边形 MNA₁C₁是梯形；
(2)∠DNM = ∠D₁A₁C₁。

答案：
(1)
证明：连接$AC$。
在$\triangle ACD$中，因为$M$，$N$分别是棱$CD$，$AD$的中点，所以$MN$是$\triangle ACD$的中位线。
所以$MN// AC$，$MN = \frac{1}{2}AC$。
由正方体的性质，得$AC// A_{1}C_{1}$，$AC = A_{1}C_{1}$，所以$MN// A_{1}C_{1}$，且$MN=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}$，即$MN\neq A_{1}C_{1}$。
所以四边形$MNA_{1}C_{1}$是梯形。
(2)
由
(1)可知$MN// A_{1}C_{1}$。
因为$ND// A_{1}D_{1}$，所以$\angle DNM$与$\angle D_{1}A_{1}C_{1}$相等或互补，而$\angle DNM$与$\angle D_{1}A_{1}C_{1}$均是直角三角形的锐角，所以$\angle DNM = \angle D_{1}A_{1}C_{1}$。

母题 2 直线与平面平行的判定
例 2(多选)如图，A，B，C，M，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足 MN//平面 ABC 的有(AD)

答案： AD