《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 2 已知函数零点个数求参数的取值范围 5年6考
例 2 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 1, & x \geq 0, \\ 2^x - 1, & x ＜ 0, \end{cases} $ 函数 $ g(x) = f(x) - b $. 若函数 $ g(x) $ 有 1 个零点，则实数 $ b $ 的取值范围是$(-\infty, -1] \cup [0, 1]$；若函数 $ g(x) $ 有 2 个零点，则实数 $ b $ 的取值范围是$(-1, 0)$.

答案： 函数 $ g(x) = f(x) - b $ 的零点个数即方程 $ f(x) = b $ 的解的个数，需结合函数 $ f(x) $ 的图像与直线 $ y = b $ 的交点情况分析：
1. 当 $ g(x) $ 有1个零点时（即 $ y = b $ 与 $ f(x) $ 图像有1个交点）：
对 $ x \geq 0 $，$ f(x) = -x^2 + 1 $ 为开口向下的抛物线，顶点为 $ (0,1) $，值域 $ (-\infty, 1] $；
对 $ x ＜ 0 $，$ f(x) = 2^x - 1 $ 为增函数，值域 $ (-1, 0) $。
直线 $ y = b $ 与 $ f(x) $ 图像有1个交点时，$ b \leq -1 $（仅与 $ x \geq 0 $ 部分相交）或 $ 0 \leq b \leq 1 $（仅与 $ x \geq 0 $ 部分相交）。
取值范围：$ (-\infty, -1] \cup [0, 1] $。
2. 当 $ g(x) $ 有2个零点时（即 $ y = b $ 与 $ f(x) $ 图像有2个交点）：
直线 $ y = b $ 需同时与 $ x \geq 0 $ 和 $ x ＜ 0 $ 部分相交，此时 $ -1 ＜ b ＜ 0 $（与 $ x ＜ 0 $ 部分相交于1点，与 $ x \geq 0 $ 部分相交于1点）。
取值范围：$ (-1, 0) $。
答案
$ (-\infty, -1] \cup [0, 1] $；$ (-1, 0) $

母题 3 已知函数零点所在区间求参数的取值范围 5年1考
例 3 (1) 若函数 $ f(x) = 2^x - \frac{2}{x} - a $ 存在一个零点位于区间 $ (1,2) $ 内，则实数 $ a $ 的取值范围是(A)
A.$ (0,3) $
B.$ (-3,3) $
C.$ [-3,3] $
D.$ (-3,0) $

答案：
(1)
函数$f(x)=2^{x}-\frac{2}{x}-a$在$(0,+\infty)$上单调递增，且函数$f(x)$在$(1,2)$内有一个零点。
根据零点存在定理可得$\begin{cases}f(1)＜0\\f(2)＞0\end{cases}$，
$\begin{cases}2 - 2 - a＜0\\4 - 1 - a＞0\end{cases}$，
$\begin{cases}-a＜0\\3 - a＞0\end{cases}$，
解得$0 ＜ a ＜ 3$，
所以实数$a$的取值范围是$(0,3)$，答案选A。

(2) 若函数 $ f(x) = \log_2(4 · 2^x - 4^x + m) $ 在区间 $ (0,2) $ 上有且仅有一个零点，则 $ m $ 的取值范围为$\{m\mid m = - 3或 - 2\leq m ＜ 1\}$.

答案：
(2)
函数$f(x)=\log_{2}(4·2^{x}-4^{x}+m)$在区间$(0,2)$上有且仅有一个零点，则$\log_{2}(4·2^{x}-4^{x}+m)=0$在区间$(0,2)$上有且仅有一个根，即$4·2^{x}-4^{x}+m = 1$在区间$(0,2)$上有且仅有一个根，也就是$y = m$与$y=-4·2^{x}+4^{x}+1$的图象在区间$(0,2)$上有且仅有一个交点。
设$t = 2^{x}(1 ＜ t ＜ 4)$，则$m=t^{2}-4t + 1$，令$g(t)=t^{2}-4t + 1$，对称轴为$t = 2$，开口向上。
$g(t)$在$(2,4)$上单调递增，在$(1,2)$上单调递减，$g(1)=1 - 4 + 1=-2$，$g(2)=4 - 8 + 1=-3$，$g(4)=16 - 16 + 1=1$。
当$m = - 3$或$-2\leq m ＜ 1$时，$y = m$与$y = g(t)$的图象在$(1,4)$上有且仅有一个交点。
所以$m$的取值范围为$\{m\mid m = - 3或 - 2\leq m ＜ 1\}$。
故答案为：
(1)A；
(2)$\{m\mid m = - 3或 - 2\leq m ＜ 1\}$。