《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

① 已知向量 $a$，$b$ 满足 $|a| = 2$，$|b| = \sqrt{3}$，且 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $30^{\circ}$，那么 $a· b$ 等于(C)

A.$1$
B.$\sqrt{3}$
C.$3$
D.$3\sqrt{3}$

答案： C

② 设单位向量 $a$，$b$ 满足 $a· b = \frac{1}{2}$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为(C)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： C

想一想
若 $a· b ＞ 0$，则 $a$ 和 $b$ 的夹角为锐角吗？

答案： 答题卡：
根据向量数量积的定义，$\vec{a} · \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$，其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角。
若 $\vec{a} · \vec{b} ＞ 0$，则 $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta ＞ 0$。
由于 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 均为非负，且若 $\vec{a}$ 或 $\vec{b}$ 为零向量，则数量积为0，与题意不符，所以可假设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 均为非零向量。
因此，不等式简化为 $\cos \theta ＞ 0$。
$\cos \theta ＞ 0$ 时，$\theta$ 的取值范围为 $0^{\circ} \leq \theta ＜ 90^{\circ}$。
这意味着 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角可以是 $0^{\circ}$（同向）或锐角。
结论：若 $\vec{a} · \vec{b} ＞ 0$，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角不一定为锐角，也可能是 $0^{\circ}$。