《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 比较两数(式)的大小
1. 考向 1 作差法
例 1 已知 $a$，$b$ 为正实数，试比较 $\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}}$ 与 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的大小。

答案： 答题：
作差法：
$(\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}}) - (\sqrt{a} + \sqrt{b})$
$= \frac{a - b}{\sqrt{b}} + \frac{b - a}{\sqrt{a}} $
$= \frac{(a - b)(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{ab}} $
$= \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}$
$\because a ＞ 0, b ＞ 0$，
$\therefore \sqrt{a} + \sqrt{b} ＞ 0, \sqrt{ab} ＞ 0$，
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$，
$\therefore \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}} \geq 0$，
$\therefore \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$。
作商法：
$\frac{\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $
$= \frac{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$
$ = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$
$ = \frac{a + b - \sqrt{ab}}{\sqrt{ab}} $
$= \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + \sqrt{ab}}{\sqrt{ab}} $
$= 1 + \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}$
$\because a ＞ 0, b ＞ 0$，
$\therefore \sqrt{a} + \sqrt{b} ＞ 0, \sqrt{ab} ＞ 0$，
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$，
$\therefore 1 + \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}} \geq 1$，
$\therefore \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$。
综上所述 $\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$。

母题 2 利用不等式的性质判断不等关系
例 2 (多选)下列命题为真命题的是(BCD)

A.若 $a＞b$，则 $\frac{a}{b}＞1$
B.若 $a＞b＞c＞0$，则 $\frac{c}{a}＜\frac{c}{b}$
C.若 $a＞b＞0$，$c＞d＞0$，则 $\sqrt{\frac{a}{d}}＞\sqrt{\frac{b}{c}}$
D.若 $a＞b＞0$，则 $a^2＞ab＞b^2$

答案： BCD