《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 复数的三角形式与代数形式的互化
例 1 把下列复数表示成三角形式：
(1) $\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{4} - i\sin \frac{\pi}{4})$；
(2) $-1 - i$.

答案： 例1 把下列复数表示成三角形式：
(1) $\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{4} - i\sin \frac{\pi}{4})$
解：原式 $=\frac{1}{2}[\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})] = \frac{1}{2}(\cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4})$
(2) $-1 - i$
解：$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$，$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，
对应点在第三象限，$\arg(-1 - i) = \frac{5\pi}{4}$，
$\therefore -1 - i = \sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4})$
例2 把下列复数表示成代数形式：
(1) $4(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$
解：原式 $=4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$
(2) $6(\cos \frac{11\pi}{6} + i\sin \frac{11\pi}{6})$
解：原式 $=6(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = 3\sqrt{3} - 3i$

例2 把下列复数表示成代数形式：
(1) $4(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$
(2) $6(\cos \frac{11\pi}{6} + i\sin \frac{11\pi}{6})$

答案： 例2 把下列复数表示成代数形式：
(1) $4(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$
解：原式 $=4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$
(2) $6(\cos \frac{11\pi}{6} + i\sin \frac{11\pi}{6})$
解：原式 $=6(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = 3\sqrt{3} - 3i$
解：原式 $=6(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = 3\sqrt{3} - 3i$

母题 2 复数三角形式的乘法运算
例 3 (1)计算：$\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ} - i\sin 240^{\circ}) × 6(\cos 30^{\circ} - i\sin 210^{\circ}) = $3i.
(2)任意一个复数 $z = a + bi$ 都可以表示成三角形式，即 $a + bi = r(\cos \theta + i\sin \theta)$. 棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗(1667 - 1754 年)创立的，指的是设两个复数 $z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$，则 $z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$. 已知复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，则 $z^{2023} + z^2 + \overline{z} = $$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

答案：
(1)$3i$；
(2)$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$