《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题6 域与最值 5年9考
例9求下列函数的值域:
(1)y=2sin($\frac{π}{6}$+2x),x∈[0,$\frac{π}{2}${;
(2)y=1−2cos2x+2sinx;
(3)y=sinx+cosx+sinxcosx;
(4)y=$\frac{2−sinx}{2+sinx}$.

答案：
(1) $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$，
$\frac{\pi}{6} + 2x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$，
$\sin(\frac{\pi}{6} + 2x) \in [-\frac{1}{2}, 1]$，
$2\sin(\frac{\π}{6} + 2x) \in [-1, 2]$。
值域为 $[-1, 2]$。
(2) $y = 1 - 2\cos^2x + 2\sin x = 2\sin^2x + 2\sin x - 1 = 2(\sin x + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$。
当 $\sin x = -\frac{1}{2}$，$y_{\min} = -\frac{3}{2}$。
当 $\sin x = 1$，$y_{\max} = 3$。
值域为 $[-\frac{3}{2}, 3]$。
(3) 令 $t = \sin x + \cos x$，则 $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$，
$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$，
$y = t + \frac{t^2 - 1}{2} = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t + 1)^2 - 1$。
当 $t = -1$，$y_{\min} = -1$。
当 $t = \sqrt{2}$，$y_{\max} = \frac{1}{2} + \sqrt{2}$。
值域为 $[-1, \frac{1}{2} + \sqrt{2}]$。
(4) $y = \frac{2 - \sin x}{2 + \sin x} = \frac{4 - (2 + \sin x)}{2 + \sin x} = \frac{4}{2 + \sin x} - 1$。
$-1 \leq \sin x \leq 1$，
$1 ＜ 2 + \sin x \leq 3$，
$\frac{4}{3} \leq \frac{4}{2 + \sin x} \leq 4$，
$\frac{1}{3} \leq \frac{4}{2 + \sin x} - 1 \leq 3$。
值域为 $[\frac{1}{3}, 3]$。