《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

值范围 ______
例4(1)已知f(2x)=|x−a|,若
函数f(x)在区间(一∞,2上单调
递减,则a的取值范围是a≥1;名师讲题
若函数f(x)的单调递减区间为(一∞o,2,则
a的值为1.
(2)若函数f(x)=x²+2(a−1)x+2在区间
(1,4)上不是单调函数,则实数a的取值范围
是-3＜a＜0.
解析(1)令t=2xc,则f(t)=|$\frac{t}{2}$−a|”
$\frac{x}{2}$−a,x＞2a,
所以f(x)=|$\frac{x}{2}$−a|=
a− ,x＜2a,
{
$\frac{x}{2}$
所以函数f(x)在区间(-8,2a上单调
递减。
若函数f(x)在区间(−0o,2上单调递减，
则2a≥2,解得a≥1.
若函数f(x)的单调递减区间为(一oo,2,
则2a=2,解得a=1.
(2)易知函数f(x)=x²+2(a−1)x+2图象的对称轴为直线x=1−a.
由于函数f(x)在区间(1,4)上不是单调函数,所以1＜1−a＜4,解得−3＜a＜0.
答案(1)a≥1 1 (2)−3＜a＜0

答案：
(1)a≥1；1
(2)-3＜a＜0

例5 已知f(x)是定义在区间
[−1,1]上的增函数,且f(x−2)＞
f(1−x),求实数x的取值范围.
解:由题意,，得−−11≤≤x1−−x2≤≤11,,
解得1≤x≤2.因为f(x)是定义在区间[一
1,1]上的增函数,且f(x−2)＞f(1−x),所
以x−2＞1−x,所以x＞$\frac{3}{2}$.
1≤x≤2,
由x＞ , 得$\frac{3}{2}$＜x≤2,
{
$\frac{3}{2}$
所以实数x的取值范围是($\frac{3}{2}$,2].

答案： 由题意，函数$f(x)$定义在$[-1,1]$上，所以需满足：
$\begin{cases}-1 \leq x - 2 \leq 1, \\-1 \leq 1 - x \leq 1.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}1 \leq x \leq 3, \\0 \leq x \leq 2.\end{cases}$
综合得：$1 \leq x \leq 2$。
因为$f(x)$是增函数，且$f(x - 2) ＞ f(1 - x)$，所以：
$x - 2 ＞ 1 - x$，
即：
$2x ＞ 3$，
$x ＞ \frac{3}{2}$。
综合$1 \leq x \leq 2$和$x ＞ \frac{3}{2}$，得：
$\frac{3}{2} ＜ x \leq 2$。
所以实数$x$的取值范围是$(\frac{3}{2}, 2]$。

母题3 求函数的最值(值域)5年4考
例6 求函数f(x)=$\frac{1+x}{\sqrt{x}}$的最小值.

答案： 例6
解：函数$f(x)=\frac{1+x}{\sqrt{x}}$的定义域为$(0,+\infty)$。
方法1（单调性法）
任取$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，且$x_1＜x_2$，则
$f(x_2)-f(x_1)=\frac{1+x_2}{\sqrt{x_2}}-\frac{1+x_1}{\sqrt{x_1}}=(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1})·\frac{\sqrt{x_1x_2}-1}{\sqrt{x_1x_2}}$。
当$0＜x_1＜x_2\leq1$时，$\sqrt{x_1x_2}＜1$，$f(x_2)-f(x_1)＜0$，函数在$(0,1]$单调递减，最小值为$f(1)=2$；
当$1\leq x_1＜x_2$时，$\sqrt{x_1x_2}＞1$，$f(x_2)-f(x_1)＞0$，函数在$[1,+\infty)$单调递增，最小值为$f(1)=2$。
综上，最小值为$2$。
方法2（基本不等式法）
$x＞0$时，$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq2\sqrt{\sqrt{x}·\frac{1}{\sqrt{x}}}=2$，当且仅当$\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$即$x=1$时等号成立。
故最小值为$2$。

例7对任意实数a,b,c,记min{a,b,c}表示三个数中的最小者，如min{1,2,3}=1.函数f(x)=min{14−x,x²,x+2},求函数f(x)的最大值

答案： @@例7
解：作出$y=14-x$，$y=x^2$，$y=x+2$的图象，实线部分为$f(x)=\min\{14-x,x^2,x+2\}$的图象。
联立$\begin{cases}y=x+2\\y=14-x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=6\\y=8\end{cases}$。
故函数$f(x)$的最大值为$8$。

例8求下列函数的值域:
(1)y=$\frac{3x+7}{x−2}$;(2)y=$\frac{x²−1}{x²+1}$.

答案： 例8
解：
(1)$y=\frac{3x+7}{x-2}=3+\frac{13}{x-2}$，$\frac{13}{x-2}\neq0$，$\therefore y\neq3$，值域为$\{y|y\neq3\}$。
(2)$y=\frac{x^2-1}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}$，$x^2+1\geq1$，$\therefore0＜\frac{2}{x^2+1}\leq2$，$\therefore-1\leq1-\frac{2}{x^2+1}＜1$，值域为$[-1,1)$。