《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例2(1)函数f(x)=sin$\frac{π}{2}$x−logo.2x(x＞0)的零点个数为 (C)
A.1 B.2 C.3
(2)若函数f(x)=sinx+3|sinx|,x∈[0,
2π]的图象与直线y=k仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(2,4).

答案：
(1)
在同一平面直角坐标系中，画出$y = \sin\frac{\pi}{2}x$与$y=\log_{0.2}x(x ＞ 0)$的图象，由图象可知两函数图象恰有$3$个交点，所以函数$f(x)=\sin\frac{\pi}{2}x - \log_{0.2}x(x ＞ 0)$的零点个数为$3$，答案选C。
(2)
$f(x)=\sin x + 3|\sin x|=\begin{cases}4\sin x, & 0\leqslant x\leqslant\pi \\ -2\sin x, & \pi\lt x\leqslant2\pi\end{cases}$
$f(x)$的单调递增区间为$\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$，单调递减区间为$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right],\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$。
$f(0)=f(\pi)=f(2\pi)=0$，$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=4$，$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2$。
因为函数$f(x)$的图象与直线$y = k$仅有两个不同的交点，所以$k$的取值范围是$(2,4)$。
故答案为：
(1)C；
(2)$(2,4)$。

例3不等式sin(2x十$\frac{π}{3}$)≥$\frac{1}{2}$的解集为$\left\{ x \mid -\frac{\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

答案： 令$ \alpha = 2x + \frac{\pi}{3} $，则原不等式变为$ \sin \alpha \geq \frac{1}{2} $。
在区间$ [0, 2\pi] $内，解方程$ \sin \alpha = \frac{1}{2} $，得到$ \alpha = \frac{\pi}{6} \quad 或 \quad \alpha = \frac{5\pi}{6} $。
由于$ \sin \alpha $的周期为$ 2\pi $，所以$ \sin \alpha \geq \frac{1}{2} $的解集为$ \alpha \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right], \quad k \in \mathbb{Z} $。
将$ \alpha = 2x + \frac{\pi}{3} $代入，得到$ 2x + \frac{\pi}{3} \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right] $。
解这个不等式组，得到$ -\frac{\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $。
所以，原不等式的解集为$ \left\{ x \mid -\frac{\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} $。