《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 3 利用不等式的性质求取值范围
例 3 (1) 已知 $12＜a＜60$，$15＜b＜36$，求 $a - b$，$\frac{a}{b}$ 的取值范围；
(2) 已知 $1 \leq a + b \leq 5$，$-1 \leq a - b \leq 3$，求 $3a - 2b$ 的取值范围。

答案： 解：
(1) $\because 15＜b＜36$，$\therefore \frac{1}{36}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{15}$。
$\because 12＜a＜60$，
$\therefore -24＜a - b＜45$，$\frac{1}{3}＜\frac{a}{b}＜4$。

(2) 设 $3a - 2b = m(a + b) + n(a - b) = (m + n)a + (m - n)b$，
则 $\begin{cases}m + n = 3 \\ m - n = -2\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = \frac{1}{2} \\ n = \frac{5}{2}\end{cases}$，
$\therefore 3a - 2b = \frac{1}{2}(a + b) + \frac{5}{2}(a - b)$。
$\because 1 \leq a + b \leq 5$，$-1 \leq a - b \leq 3$，
$\therefore \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}(a + b) \leq \frac{5}{2}$，$-\frac{5}{2} \leq \frac{5}{2}(a - b) \leq \frac{15}{2}$，
$\therefore -2 \leq \frac{1}{2}(a + b) + \frac{5}{2}(a - b) \leq 10$，
$\therefore -2 \leq 3a - 2b \leq 10$。

母题 4 利用不等式的性质证明不等关系
例 4 已知 $a＞b＞0$，$c＜d＜0$，$e＜0$，求证：$\frac{e}{a - c}＞\frac{e}{b - d}$。

答案： 证明：
∵ $a ＞ b ＞ 0$，$c ＜ d ＜ 0$，
∴ $-c ＞ -d ＞ 0$，
∴ $a - c ＞ b - d ＞ 0$，
∴ $\frac{1}{a - c} ＜ \frac{1}{b - d}$，
∵ $e ＜ 0$，
∴ $\frac{e}{a - c} ＞ \frac{e}{b - d}$。