《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题3 关系__________________年8考
例3(多选)(新高考I卷)已知O
为坐标原点，点A(1,1)在抛物线
C:x²=2py(p＞0)上,过点B(0,名师讲题−1)的直线交抛物线C于P,Q两点,则
(BCD)
A.抛物线C的准线方程为y=−1
B.直线AB与抛物线C相切
C.|OP|.|OQ|＞|OA|2
D.|BP|.|BQ|＞|BA|2

答案： 解析将点A的坐标代入抛物线方程，得1=
2p,所以抛物线方程为x²=y,故准线方程为y=−$\frac{1}{4}$,故A选项错误.
kAB=$\frac{1−(−1)}{1−0}$=2,所以直线AB的方程为
y=2x−1.
联立{yx²==2yx,−1,得x²−2x+1=0,△=
(−2)2−4=0,所以直线AB与抛物线C相切，故B选项正确.
设过点B的直线为l,若直线l与y轴重合，
则直线L与抛物线C只有一个交点，不符合题意，所以直线l的斜率存在，设其方程为
y=kx−1,P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立{yx²==kyx,−1,得x²−kx+1=0,
A=k²−4＞0,
所以{x1+x2=k， 所以k＞2或k＜−2,
x1x2=1,
y1y2=(x1x2)²=1.
又|OP|=√孖+= $\sqrt{y+y²}$,|OQ|=
√+觅=$\sqrt{y+y²}$
所以|OP|.|OQ|=$\sqrt{yy(1+y)(1+y)}$=
$\sqrt{kx.kx}$=|k|＞2=|OA|²,故C选项
正确.
因为|BP|=√1+k²|x1|,|BQ|=
√1+k²|x21,
所以|BP|.|BQ|=(1+k²)|x1x2|=1+
k²＞5,而|BA|2=5,故D选项正确.
答案BCD ______