《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题1 求椭圆的标准方程 5年17考
例1求满足下列条件的椭圆的标准
方程:
(1)b=1,c=$\sqrt{15}$,焦点在y轴上;
(2)a=10,c=6;
(3)经过(2,−$\sqrt{2}$),(−1,$\frac{\sqrt{14}}{2}$)两点;
(4)与椭圆$\frac{x²}{4}$+辽3=1有相同的焦点且经过点(2,−$\sqrt{3}$).
解:(1)因为b=1,c=$\sqrt{15}$,所以a²=b²+c²=1+15=16.
因为椭圆的焦点在y轴上,所以其标准方程为辽16+x²=1.
(2)因为a=10,c=6,所以b²=a²−c²=
100−36=64.
因为椭圆的焦点位置不确定，所以其标准方程为$\frac{x²}{100}$+4=1或+$\frac{x²}{64}$=1.
(3)设椭圆的一般方程为Ax²+By²=1(A＞0,B＞0,A≠B).
将点(2,− $\sqrt{2}$),(−1,$\frac{\sqrt{14}}{2}$)的坐标代入,
4A+2B=1, A=$\frac{1}{8}$,
A+$\frac{7}{2}$B=1,解 B=$\frac{1}{4}$,
所以所求椭圆的标准方程为$\frac{x²}{8}$+=11.
(4)方法1:因为所求椭圆与椭圆$\frac{x²}{4}$+²3=1 的焦点相同，所以所求椭圆的焦点在x轴
上,且c²=4−3=1.
设所求椭圆的标准方程为$\frac{x²}{a?}$+²b²=1(a＞b＞0).因为c²=1,所以a²−b²=1.
因为点(2，− $\sqrt{3}$)在椭圆上,所以$\frac{22}{a?}$+
$\frac{(−\sqrt{3})²}{b²}$=1,即$\frac{4}{a²}$+$\frac{3}{b²}$=1.
联立 a²−+b²==11,,解得{a²=4+2$\sqrt{3}$,或
{$\frac{4}{a²}$ $\frac{3}{b2}$ b²=3+2$\sqrt{3}$
a²2=4−2$\sqrt{3}$,
{ (舍去)
b²=3−2$\sqrt{3}$,
所以所求椭圆的标准方程为$\frac{x²}{4+2\sqrt{3}}$+
y²=1.
3+2$\sqrt{3}$
方法2:设所求椭圆的方程为$\frac{x²}{4+入}$+²3+,λ=1
(＞−3).
因为点(2,−$\sqrt{3}$)在椭圆上,所以$\frac{22}{4+入}$+
$\frac{(−\sqrt{3}}{3+入}$=1,化简,得λ²2=12,解得λ=2$\sqrt{3}$
或λ=−2$\sqrt{3}$(舍去),所以所求椭圆的标准方
程为$\frac{x²}{4+2\sqrt{3}}$+y3+2²$\sqrt{3}$=1.

答案：
(1)
因为$b = 1$，$c=\sqrt{15}$，根据$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，可得$a^{2}=1 + 15=16$。
由于椭圆焦点在$y$轴上，所以椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{16}+x^{2}=1$。
(2)
因为$a = 10$，$c = 6$，根据$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，可得$b^{2}=100 - 36=64$。
当焦点在$x$轴上时，椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$；
当焦点在$y$轴上时，椭圆标准方程为$\frac{y^{2}}{100}+\frac{x^{2}}{64}=1$。
(3)
设椭圆方程为$mx^{2}+ny^{2}=1(m\gt0,n\gt0,m\neq n)$。
把点$(2,-\sqrt{2})$，$(-1,\frac{\sqrt{14}}{2})$代入方程得：
$\begin{cases}4m + 2n=1\\m+\frac{7}{2}n=1\end{cases}$
由$4m + 2n=1$可得$m=\frac{1 - 2n}{4}$，代入$m+\frac{7}{2}n=1$得：
$\frac{1 - 2n}{4}+\frac{7}{2}n=1$，
$1-2n + 14n=4$，
$12n=3$，
$n=\frac{1}{4}$，
则$m=\frac{1}{8}$。
所以椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$。
(4)
方法1：
已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=3$（原题中“辽3”推测为$y^{2}=3$的输入错误），其焦点在$x$轴上，$c^{2}=4 - 3=1$。
设所求椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$，则$a^{2}-b^{2}=1$。
因为点$(2,-\sqrt{3})$在椭圆上，所以$\frac{4}{a^{2}}+\frac{3}{b^{2}}=1$。
由$a^{2}-b^{2}=1$得$a^{2}=b^{2}+1$，代入$\frac{4}{a^{2}}+\frac{3}{b^{2}}=1$得：
$\frac{4}{b^{2}+1}+\frac{3}{b^{2}}=1$，
$4b^{2}+3(b^{2}+1)=b^{2}(b^{2}+1)$，
$4b^{2}+3b^{2}+3=b^{4}+b^{2}$，
$b^{4}-6b^{2}-3=0$，
$(b^{2}-3 - 2\sqrt{3})(b^{2}-3 + 2\sqrt{3})=0$，
$b^{2}=3 + 2\sqrt{3}$，$b^{2}=3 - 2\sqrt{3}\lt0$（舍去）。
则$a^{2}=4 + 2\sqrt{3}$，所以椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{4 + 2\sqrt{3}}+\frac{y^{2}}{3 + 2\sqrt{3}}=1$。
方法2：
设所求椭圆方程为$\frac{x^{2}}{4+\lambda}+\frac{y^{2}}{3+\lambda}=1(\lambda\gt - 3)$。
因为点$(2,-\sqrt{3})$在椭圆上，所以$\frac{4}{4+\lambda}+\frac{3}{3+\lambda}=1$，
$\frac{4(3+\lambda)+3(4+\lambda)}{(4+\lambda)(3+\lambda)}=1$，
$12 + 4\lambda+12 + 3\lambda=(4+\lambda)(3+\lambda)$，
$24 + 7\lambda=\lambda^{2}+7\lambda+12$，
$\lambda^{2}=12$，
$\lambda=2\sqrt{3}$或$\lambda=-2\sqrt{3}$（舍去）。
所以椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{4 + 2\sqrt{3}}+\frac{y^{2}}{3 + 2\sqrt{3}}=1$。