《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 5 已知幂函数 $ f(x) = (m^2 - 6m + 10)x^{-n^2 + 4n}(n ＞ 1,n \in \mathbf{Z},m \in \mathbf{R}) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称，且在 $ (0,+\infty) $ 上单调递增.
(1) 求 $ m $ 和 $ n $ 的值；
(2) 求满足不等式 $ (2a + 3)^{-\frac{m}{3}} ＜ (a - 1)^{-\frac{n}{2}} $ 的 $ a $ 的取值范围.

答案：
(1)
$\because f(x)=(m^{2}-6m + 10)x^{-n^{2}+4n}(n\gt1,n\in\mathbf{Z},m\in\mathbf{R})$是幂函数，
$\therefore m^{2}-6m + 10 = 1$，
即$m^{2}-6m+9 = 0$，
$(m - 3)^{2}=0$，
解得$m_{1}=m_{2}=3$。
$\because f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，
$\therefore -n^{2}+4n\gt0$，
$n^{2}-4n\lt0$，
$n(n - 4)\lt0$，
解得$0\lt n\lt4$。
又$\because n\gt1,n\in\mathbf{Z}$，
$\therefore n = 2$或$n = 3$。
当$n = 2$时，$f(x)=x^{4}$，图象关于$y$轴对称，符合题意；
当$n = 3$时，$f(x)=x^{3}$，图象关于原点对称，不符合题意。
综上，$m = 3$，$n = 2$。
(2)
由
(1)得$m = 3$，$n = 2$，则不等式$(2a + 3)^{-\frac{m}{3}}\lt(a - 1)^{-\frac{n}{2}}$即为$(2a + 3)^{-1}\lt(a - 1)^{-1}$。
因为函数$y = x^{-1}$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上均单调递减，
所以有$0\lt a - 1\lt2a + 3$或$a - 1\lt2a + 3\lt0$或$2a + 3\lt0\lt a - 1$。
由$0\lt a - 1\lt2a + 3$得：
$\begin{cases}a - 1\gt0\\a - 1\lt2a + 3\end{cases}$，
$\begin{cases}a\gt1\\a\gt - 4\end{cases}$，
解得$a\gt1$。
由$a - 1\lt2a + 3\lt0$得：
$\begin{cases}a - 1\lt2a + 3\\2a + 3\lt0\end{cases}$，
$\begin{cases}a\gt - 4\\a\lt-\frac{3}{2}\end{cases}$，
解得$-4\lt a\lt-\frac{3}{2}$。
$2a + 3\lt0\lt a - 1$无解。
综上，$a$的取值范围为$\left(-4,-\frac{3}{2}\right)\cup(1,+\infty)$。