《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

1. 实系数一元二次方程，若判别式小于0，则方程有两个共轭的复数根，当已知其一个复根时，可知其另一个复根，并且对于判别式小于0的情况，根与系数的关系仍然成立。
2. 复系数一元二次方程，若方程有实根，求参数的值的一般解法是先设出这个实根，代入已知方程后利用两个复数相等的充要条件列方程（组）求解。根与系数的关系仍然适用，但判别式“$ \Delta $”不再适用。

答案： 答案略

母题3 复数综合问题
例3
1. (多选)已知 $ z = a + bi $($ a,b \in \mathbf{R} $)为复数，$ \overline{z} $ 是其共轭复数，则下列命题一定正确的是(BD)
A. $ z^2 = |z|^2 $
B. $ z · \overline{z} = |z|^2 $
C. 若 $ z^2 $ 为纯虚数，则 $ a = b \neq 0 $
D. 复数 $ z $ 是实数的充要条件是 $ z = \overline{z} $
2. 已知复数 $ z $ 满足 $ |z| = 1 $，则 $ |z - 2 - \sqrt{5}i| $ 的取值范围为[2, 4]。

答案： 1. BD
2. $[2, 4]$