《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

已知 $\sin \alpha \cos \alpha =\frac {3}{8}$，且 $\frac {\pi }{4}＜\alpha ＜\frac {\pi }{2}$，则 $\cos \alpha -\sin \alpha =$$-\frac{1}{2}$。

答案： $-\frac{1}{2}$（题目已给出答案，此位置按要求格式重复一遍）

例 1 求角 $\frac{7\pi}{4}$ 的正弦、余弦和正切值。
解：如图，在平面直角坐标系中作 $\angle AOB=\frac {7\pi }{4}$，其终边交单位圆于点 P，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，则 $\angle POD=\frac{\pi}{4}$。
易求得点 P 的坐标为 $(\frac {\sqrt {2}}{2},-\frac {\sqrt {2}}{2})$，所以 $\sin \frac {7\pi }{4}=-\frac {\sqrt {2}}{2}$，$\cos \frac {7\pi }{4}=\frac {\sqrt {2}}{2}$，$\tan \frac {7\pi }{4}=-1$。

答案： 角 $\frac{7\pi}{4}$ 的终边交单位圆于点 $P$。
根据三角函数的定义：
点 $P$ 的坐标为 $\left(\cos\frac{7\pi}{4}, \sin\frac{7\pi}{4}\right)$。
由于 $\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$，
所以 $\sin\frac{7\pi}{4} = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\tan\frac{7\pi}{4} = \frac{\sin\frac{7\pi}{4}}{\cos\frac{7\pi}{4}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$。
所以，$\sin\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan\frac{7\pi}{4} = -1$。

例 2 (1)已知角α的终边经过点 P(x,$\sqrt{3}$)，且 $\tan \alpha =-\frac {\sqrt {6}}{2}$，则 sinα的值为 (C)
A. $\frac{\sqrt{10}}{5}$
B. $-\frac{\sqrt{10}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{15}}{5}$
D. $-\frac{\sqrt{15}}{5}$
(2)(多选)已知角α的终边经过点 P(-4m,3m)(m≠0)，则 2sinα + cosα的值可能为 (CD)
A. $\frac{3}{5}$
B. $-\frac{3}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $-\frac{2}{5}$
解析 (1)由三角函数的定义，得 $\tan \alpha =\frac {\sqrt {3}}{x}=-\frac {\sqrt {6}}{2}$，解得 $x=-\sqrt {2}$，即 $P(-\sqrt {2},\sqrt {3})$，
所以 $\sin \alpha =\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {(-\sqrt {2})^{2}+(\sqrt {3})^{2}}}=\frac {\sqrt {15}}{5}$。
(2)已知角α的终边经过点 P(-4m,3m)(m≠0)，
所以 $\sin \alpha =\frac {3m}{\sqrt {(-4m)^{2}+(3m)^{2}}}=\frac {3m}{|5m|}$，
$\cos \alpha =\frac {-4m}{\sqrt {(-4m)^{2}+(3m)^{2}}}=\frac {-4m}{|5m|}$。
当 m＞0 时，$\sin \alpha =\frac {3}{5}$，$\cos \alpha =-\frac {4}{5}$，$2\sin \alpha +\cos \alpha =2× \frac {3}{5}+(-\frac {4}{5})=\frac {2}{5}$；
当 m＜0 时，$\sin \alpha =-\frac {3}{5}$，$\cos \alpha =\frac {4}{5}$，$2\sin \alpha +\cos \alpha =2× (-\frac {3}{5})+\frac {4}{5}=-\frac {2}{5}$。
综上所述，2sinα + cosα的值可能为 $\frac{2}{5}$ 或 $-\frac{2}{5}$。
答案 (1)C (2)CD
方法提炼 已知角α的终边上一点 P(x,y)(x≠0)，求出 $r=\sqrt {x^{2}+y^{2}}$，则 $\sin \alpha =\frac {y}{r}$，$\cos \alpha =\frac {x}{r}$，$\tan \alpha =\frac {y}{x}$。若点 P 的坐标含参数，则需对参数进行分类讨论。

答案：
(1)C；
(2)CD