《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 空间向量基底的判断
例 1 已知$\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\}$是空间的一个基底，且$\overrightarrow {OA}=\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{e}_{3}$，$\overrightarrow {OB}=-3\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}+2\boldsymbol{e}_{3}$，$\overrightarrow {OC}=\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{e}_{3}$，试判断$\{ \overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}\}$能否作为该空间的一个基底。

答案： 假设$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$共面，则存在实数$\lambda,\mu$，使得$\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}+\mu\overrightarrow{OC}$。
代入向量表达式得：$\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{e}_{3}=\lambda(-3\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}+2\boldsymbol{e}_{3})+\mu(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{e}_{3})$
整理得：$\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{e}_{3}=(-3\lambda+\mu)\boldsymbol{e}_{1}+(\lambda+\mu)\boldsymbol{e}_{2}+(2\lambda-\mu)\boldsymbol{e}_{3}$
因$\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\}$为基底，故系数对应相等，得方程组：
$\begin{cases}-3\lambda+\mu=1\\\lambda+\mu=2\\2\lambda-\mu=-1\end{cases}$
解前两式：由$\lambda+\mu=2$得$\mu=2-\lambda$，代入$-3\lambda+\mu=1$，得$-3\lambda+2-\lambda=1\Rightarrow-4\lambda=-1\Rightarrow\lambda=\frac{1}{4}$，则$\mu=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。
将$\lambda=\frac{1}{4},\mu=\frac{7}{4}$代入第三式：$2×\frac{1}{4}-\frac{7}{4}=\frac{2}{4}-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}\neq-1$，方程组无解。
故$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$不共面，能作为空间的一个基底。
结论：能作为该空间的一个基底。

母题 2 用基底表示空间向量
例 2 如图，在四面体$OABC$中，$G$，$H$分别是$\triangle ABC$，$\triangle OBC$的重心，$D$是$BC$的中点，设$\overrightarrow {OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow {OB}= \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow {OC}=\boldsymbol{c}$，试用基底$\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$表示向量$\overrightarrow {OG}$和$\overrightarrow {GH}$。

解：
1. 求$\overrightarrow{OG}$
因为$D$是$BC$的中点，所以$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$。
又$G$是$\triangle ABC$的重心，故$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，且$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\boldsymbol{a}$。
则$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\left[\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\boldsymbol{a}\right]=\frac{1}{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\frac{2}{3}\boldsymbol{a}$。
因此$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}=\boldsymbol{a}+\left(\frac{1}{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\frac{2}{3}\boldsymbol{a}\right)=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$。
2. 求$\overrightarrow{GH}$
因为$H$是$\triangle OBC$的重心，所以$\overrightarrow{OH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\frac{1}{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$。
则$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}$。
结论：$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，$\overrightarrow{GH}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}$。

答案： 解：
1. 求$\overrightarrow{OG}$
因为$D$是$BC$的中点，所以$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$。
又$G$是$\triangle ABC$的重心，故$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，且$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\boldsymbol{a}$。
则$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\left[\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\boldsymbol{a}\right]=\frac{1}{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\frac{2}{3}\boldsymbol{a}$。
因此$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}=\boldsymbol{a}+\left(\frac{1}{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\frac{2}{3}\boldsymbol{a}\right)=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$。
2. 求$\overrightarrow{GH}$
因为$H$是$\triangle OBC$的重心，所以$\overrightarrow{OH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\frac{1}{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$。
则$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}$。
结论：$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，$\overrightarrow{GH}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}$。

例 3 如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别是$BB_{1}$，$D_{1}B_{1}$的中点。求证：$EF\perp AB_{1}$。

答案： 证明：设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，正方体棱长为$1$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}=0$，$\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=0$，$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1$。
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}F}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BB_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})$
$\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{AB_{1}}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}·\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}^{2}-\boldsymbol{a}^{2}-\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})=\frac{1}{2}(0 + 0 + 0 + 1 - 1 - 0)=0$
所以$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{AB_{1}}$，即$EF\perp AB_{1}$。