《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例1已知函数f(x)=$\frac{2x−1}{x+1}$.试判断函数f(x)在(−1,+∞o)上的单调性，并用定义证明.

答案： 答题卡作答：
函数$f(x)$在$( - 1, + \infty)$上单调递增。
证明：
任取$x_{1},x_{2} \in ( - 1, + \infty)$，且$x_{1} ＜ x_{2}$，
$f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}$，
$f(x_{1}) - f(x_{2}) = 2 - \frac{3}{x_{1} + 1} - 2 + \frac{3}{x_{2} + 1} = \frac{3(x_{1} - x_{2})}{(x_{1} + 1)(x_{2} + 1)}$，
因为$- 1 ＜ x_{1} ＜ x_{2}$，
所以$x_{1} - x_{2} ＜ 0$，$(x_{1} + 1)(x_{2} + 1) ＞ 0$，
所以$f(x_{1}) - f(x_{2}) ＜ 0$，即$f(x_{1}) ＜ f(x_{2})$，
所以$f(x)$在$( - 1, + \infty)$上单调递增。

例2已知定义在(0，十∞)上的函数 f(x)对任意x,y∈(o,+oo),恒有f(xy)=f(r）十f(y)，且当0<r<1时，f(x)>0,判断f(x)在(0，十∞o)上

的单调性.

答案： 任取$x_{1},x_{2} \in (0, +\infty)$，且$x_{1} ＜ x_{2}$。
则$\frac{x_{1}}{x_{2}} \in (0,1)$。
根据题意，函数$f(x)$对任意$x, y \in (0, +\infty)$，恒有$f(xy) = f(x) + f(y)$。
因此，$f(x_{1}) - f(x_{2}) = f\left(\frac{x_{1}}{x_{2}} · x_{2}\right) - f(x_{2}) = f\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) + f(x_{2}) - f(x_{2}) = f\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)$。
由于$0 ＜ \frac{x_{1}}{x_{2}} ＜ 1$，根据题目条件，当$0 ＜ x ＜ 1$时，$f(x) ＞ 0$。
所以，$f\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) ＞ 0$，即$f(x_{1}) - f(x_{2}) ＞ 0$。
因此，$f(x_{1}) ＞ f(x_{2})$。
所以，函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减。

例3已知函数f(x)在区间0,+∞)上单调递减,试比较f(a²一a+1)与f($\frac{3}{4}$)的大小

答案：
∵$a^{2} - a + 1 = (a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} ＞ 0$，
所以$a^{2} - a + 1$与$\frac{3}{4}$都在区间$(0, +\infty)$内，
又$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上单调递减，
当$a^{2} - a + 1 = \frac{3}{4}$时，$f(a^{2} - a + 1) = f(\frac{3}{4})$，
当$a^{2} - a + 1 ＞ \frac{3}{4}$时，$f(a^{2} - a + 1) ＜ f(\frac{3}{4})$，
综上$f(a^{2} - a + 1) \leq f(\frac{3}{4})$。