《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题1 求抛物线的标准方程5年7考
例1(1)设圆O:x²+y²=4与y轴
交于A,B两点(点A在点B的上
方),过点B作圆O的切线L,若动
点P到点A的距离等于动点P到I的距离，
则动点P的轨迹方程为 (A)
A.x²=8y B.x²=16y
C.y²=8x D.A²=16x
(2)已知抛物线C1:x²=2py(p＞0)的焦点为
F,双曲线C2:$\frac{x²}{a²}$−b=1(a＞0,b＞0)的离心
率为$\sqrt{3}$,F到双曲线C2的渐近线的距离为2,则抛物线C的方程为 (B)
A.x²=4$\sqrt{3}$y B.x²=8$\sqrt{3}$y
C.x²=4$\sqrt{6}$y D.x²=8$\sqrt{6}$y
解析(1)因为圆O:x²+A²=4与y轴交于
A,B两点(点A在点B的上方)，
所以A(0,2),B(0,−2).
又因为过点B作圆O的切线l，
所以切线l的方程为y=−2.
因为动点P到点A的距离等于动点P到L
的距离，
所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为
(0,2),准线为y=−2,
所以动点P的轨迹方程为x²=8y.
(2)由条件可知，双曲线的离心率e=$\frac{C}{a}$=
$\sqrt{a²+b}$$\frac{a²+}{a²}$=$\sqrt{3}$，所以$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，所以双曲线的
渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x.
抛物线Ci:x²=2py(p＞0)的焦点F(0,{
到渐近线y=±$\sqrt{2}$x的距离d=$\sqrt{2+1}$=2,
解得p=4$\sqrt{3}$,
所以抛物线C的方程为x²=8$\sqrt{3}$y.
答案(1)A (2)B
方法提炼抛物线标准方程的求解方法
(1)定义法:根据题意，找到抛物线定义中的
定点和定直线，即为抛物线的焦点和准线方
程，进而得到标准方程.
(2)待定系数法:根据焦点位置设出标准方
程求解.若焦点位置不确定，可设抛物线方
程为y²=mx(m≠0)或x²=ny(n≠0).

答案：
(1)
圆$O:x^{2}+y^{2}=4$，令$x = 0$，得$y=\pm2$，
因为点$A$在点$B$上方，所以$A(0,2)$，$B(0,-2)$。
过点$B$作圆$O$的切线$l$，切线$l$方程为$y = - 2$。
因为动点$P$到点$A$的距离等于动点$P$到$l$的距离，所以动点$P$的轨迹是抛物线，焦点为$A(0,2)$，准线为$y=-2$。
设抛物线方程为$x^{2}=2py(p\gt0)$，$\frac{p}{2}=2$，$p = 4$，所以$x^{2}=8y$。
答案选A。
(2)
双曲线$C_2:\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}{（原题b推测为y²相关，按$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}=1$理解，这里原解析也是按此）} = 1(a\gt0,b\gt0)$，离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，则$\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}} = 3$，$\frac{b^{2}}{a^{2}} = 2$，$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$，双曲线渐近线方程为$y=\pm\sqrt{2}x$，即$\sqrt{2}x\pm y = 0$。
抛物线$C_1:x^{2}=2py(p\gt0)$，焦点$F(0,\frac{p}{2})$。
$F$到渐近线$\sqrt{2}x - y = 0$的距离$d=\frac{\vert-\frac{p}{2}\vert}{\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(-1)^{2}}}=2$，$\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{3}} = 2$，$p = 4\sqrt{3}$。
抛物线$C$的方程为$x^{2}=8\sqrt{3}y$。
答案选B。

母题2 抛物线的焦点弦问题
例2(多选)已知抛物线y²=4x的
焦点为F,过焦点F的直线L交抛
物线于A,B两点(其中点A在x
轴上方),则 (ACD)

A.$\frac{1}{AF|}$+$\frac{1}{|BF}$=1
B.弦AB长度的最小值为1
C.以AF为直径的圆与y轴相切
D.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
解析由题意可知，焦点F(1,0).
设直线l:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1＞0,y2＜0.
联立{xy²==ty4x+,1,整理,得y²−4ty−4=0,
A=16t²+16＞0,y1+y2=4t,y1y2=−4,
|AF|=√(x−1)²+²=√t²²+=1y1|.
$\sqrt{t²+1}$
同理可得,|BF|=|y2|. $\sqrt{t²+1}$
$\frac{1}{AF}$ + $\frac{1}{|BF}$ = ||AAFF||+.||BBFF|| =$\sqrt{211}$(| || |) = y. =
(t²+1)|y1y2| 4$\sqrt{t²+1}$
$\sqrt{(y+y2)²−4yy2}$4$\sqrt{t²+1}$ $\frac{4\sqrt{t²+1}}{4\sqrt{t²+1}}$=1,故A选项正确。
|AB|=|AF|+|BF|= $\sqrt{t²+1}$(ly1|+ly2|)= $\sqrt{t²+1}$(y1−y2)= $\sqrt{t²+1}$.
$\sqrt{(y+y2)²−4yy2}$=4(t²+1)≥4,所以弦
AB长度的最小值为4,故B选项错误.
记AF的中点M(x12+1,氵),则点M到y轴的距离d=|$\frac{x+1}{2}$|=$\frac{x+1}{2}$.
由抛物线的性质，知|AF|=x1+1,故d=
$\frac{1}{2}$|AF|,所以以AF为直径的圆与y轴相
切，故C选项正确.
|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2,记AB 的中点N($\frac{x+x2}{2}$,+y{9
则点N到抛物线的准线的距离d=$\frac{x+x}{2}$+
1=$\frac{x+x2+2}{2}$=⊥A2B⊥,所以以AB为直径的
圆与抛物线的准线相切，故D选项正确.
答案ACD

答案： ACD