《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例3函数 $ f(x) = A\sin(\omega x + \varphi) + b(A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2}) $ 的部分图象如图所示，则 $ f(\frac{\pi}{2}) = $(C)
A.$ 0 $
B.$ 2 $
C.$ 1 - \sqrt{3} $
D.$ \sqrt{3} - 1 $

答案： 由题图可知，
最大值 $y_{max} = 3$，最小值 $y_{min} = -1$，
$ A = \frac{3 - (-1)}{2} = 2 $，
$ b = \frac{3 + (-1)}{2} = 1 $，
因此函数表达式为：
$ f(x) = 2\sin(\omega x + \varphi) + 1 $，
图象周期 $ T $ 为：
$ T = \frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \pi $，
由 $ T = \frac{2\pi}{\omega} $，得：
$ \omega = 2 $，
将点 $ \left(-\frac{\pi}{4}, 0\right) $ 代入函数表达式：
$ 0 = 2\sin\left(2 × \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \varphi\right) + 1 $，
即：
$ 0 = 2\sin\left(-\frac{\pi}{2} + \varphi\right) + 1 $，
解得：
$ \sin\left(-\frac{\pi}{2} + \varphi\right) = -\frac{1}{2} $，
结合 $ |\varphi| ＜ \frac{\pi}{2} $，得：
$ \varphi = \frac{\pi}{3} $，
因此函数表达式为：
$ f(x) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 $，
计算 $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) $：
$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(2 × \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 2\sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 2\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) + 1 = 1 - \sqrt{3} $。
故答案为：C. $1 - \sqrt{3}$。

母题3 三角函数的图象与性质的综合应用 5年1考
例4(新高考Ⅰ卷)记函数 $ f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{4}) + b(\omega ＞ 0) $ 的最小正周期为 $ T $。若 $ \frac{2\pi}{3} ＜ T ＜ \pi $，且 $ y = f(x) $ 的图象关于点 $ (\frac{3\pi}{2},2) $ 中心对称，则 $ f(\frac{\pi}{2}) = $(A)

A.$ 1 $
B.$ \frac{3}{2} $
C.$ \frac{5}{2} $
D.$ 3 $

答案： 例4答案为A；

例5已知函数 $ y = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2}) $ 的图象过点 $ P(-\frac{5\pi}{12},0) $，且图象上与点 $ P $ 最近的一个最低点的坐标为 $ (-\frac{\pi}{6},-2) $。
(1)求函数的解析式；
(2)若将此函数的图象向左平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度，再向上平移 $ 2 $ 个单位长度后得到 $ g(x) $ 的图象，求 $ g(x) $在 $ [-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}] $ 上的值域。

答案： 解：
(1)由题意，知 $ A = 2 $，$ |-\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{6}| = \frac{1}{4}T $，
$ \therefore $ 最小正周期 $ T = \pi $，$ \therefore \omega = \frac{2\pi}{T} = 2 $。
$ \because $ 函数 $ f(x) $ 的图象过点 $ (-\frac{\pi}{6},-2) $，
$ \therefore -2 = 2\sin[2 × (-\frac{\pi}{6}) + \varphi] $，
$ \therefore \varphi = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z} $。
$ \because |\varphi| ＜ \frac{\pi}{2} $，$ \therefore \varphi = -\frac{\pi}{6} $，
$ \therefore $ 函数的解析式为 $ y = 2\sin(2x - \frac{\pi}{6}) $。

(2)由题意，得 $ g(x) = 2\sin[2(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{6}] + 2 = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + 2 $。
$ \because x \in [-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}] $，$ \therefore 2x + \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}] $，
$ \therefore \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \in [-\frac{1}{2},1] $，$ \therefore g(x) \in [1,4] $。
故 $ g(x) $ 在 $ [-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}] $ 上的值域为 $ [1,4] $。
方法提炼 讨论函数 $ y = A\sin(\omega x + \varphi) $ 的性质，要善于采用整体策略，即把 $ \omega x + \varphi $ 看作一个整体，将问题化归为正弦函数的性质来解决。