《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

圆锥曲线中的证明与探索
母题7 问题 5年4考?
例11已知抛物线C:x²=2py,点
P(2,8)在抛物线上,直线y=kx+
2交C于A,B两点,M是线段AB
的中点，过点M作x轴的垂线交C于点N.
(1)求点P到抛物线焦点的距离.
(2)是否存在实数k使NA.NB=0?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
解:(1)将点P(2,8)代入抛物线方程,得p=
$\frac{1}{4}$,x²=$\frac{1}{2}$y,抛物线焦点F(0,$\frac{1}{8}$),
所以点P到抛物线焦点的距离等于点P到
抛物线准线的距离|PF|=8+$\frac{1}{8}$=$\frac{65}{8}$.
(2)存在.
如图,设A(x1,2x²),B(x2,2x²).
把y=kx+2代入x²=$\frac{1}{2}$y,
得2x²−kx−2=0,△=k²+
16＞0.
由根与系数的关系，得x11+
x2=$\frac{k}{2}$,x1x2=−1,
∴xN=xM=$\frac{x+x2}{2}$=$\frac{k}{4}$,∴点N的坐标为
($\frac{k}{4}$,$\frac{k2}{8}$).
假设存在实数k,使NA.NB=0,则
NA⊥NB.
又∵M是AB的中点，∴|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|,
且yM=$\frac{1}{2}$(y1+y2)=$\frac{1}{2}$(kx1+2+kx2+2)=
$\frac{1}{2}$[k(x1+x2)+4]=$\frac{1}{2}$($\frac{k2}{2}$+4)=$\frac{k2}{4}$+2.
∵MN⊥x轴，∴|MN|=|yM−yN|=$\frac{k²}{4}$+
2−$\frac{k²}{8}$=$\frac{k²+16}{8}$.
∵|AB|= $\sqrt{1+k²}$|x1−x2|=$\sqrt{1+k²}$.
$\sqrt{(x+x)²−4xx}$ = $\sqrt{1+k²}$ .
√($\frac{k}{2}$)²|4x(−1)=$\frac{1}{2}$$\sqrt{k²+1}$√k²+16，
∴$\frac{k²+16}{8}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{k²+1}$$\sqrt{k²+16}$→$\sqrt{k²+16}$=
2$\sqrt{k²+1}$,
两边同时平方,得k²+16=4(k²2+1),
解得k=±2,即存在k=±2,使NA.
NB=0.
方法提炼解决存在判断型问题通常采用
“肯定顺推法”,一般步骤:
(1)假设满足条件的曲线(或直线、点等)存
在，用待定系数法设出;
(2)列出关于待定系数的方程(组);
(3)若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、
点等)存在，否则不存在.

答案：
(1)将$P(2,8)$代入$x^{2}=2py$，得$2^{2}=2p×8$，解得$p = \frac{1}{4}$，所以抛物线方程为$x^{2}=\frac{1}{2}y$，焦点$F(0,\frac{1}{8})$。
根据抛物线定义，点$P$到抛物线焦点距离等于点$P$到抛物线准线距离，准线方程为$y = -\frac{1}{8}$，则点$P$到抛物线焦点距离为$8+\frac{1}{8}=\frac{65}{8}$。
(2)设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，把$y = kx + 2$代入$x^{2}=\frac{1}{2}y$，得$x^{2}=\frac{1}{2}(kx + 2)$，即$2x^{2}-kx - 2 = 0$。
$\Delta=k^{2}+16\gt0$恒成立，由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=\frac{k}{2}$，$x_{1}x_{2}=-1$。
$x_{N}=x_{M}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{k}{4}$，$y_{N}=\frac{(\frac{k}{4})^{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{k^{2}}{8}$，所以$N(\frac{k}{4},\frac{k^{2}}{8})$。
$y_{1}+y_{2}=k x_{1}+2 + k x_{2}+2=k(x_{1}+x_{2})+4=\frac{k^{2}}{2}+4$，则$y_{M}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{k^{2}}{4}+2$。
$\vert MN\vert=\vert y_{M}-y_{N}\vert=\frac{k^{2}}{4}+2-\frac{k^{2}}{8}=\frac{k^{2}+16}{8}$。
$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\vert x_{1}-x_{2}\vert=\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{(\frac{k}{2})^{2}+4}=\frac{1}{2}\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{k^{2}+16}$。
因为$NA\perp NB$，所以$\vert MN\vert=\frac{1}{2}\vert AB\vert$，即$\frac{k^{2}+16}{8}=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{k^{2}+16}$（原解答此处$\vert AB\vert$系数有误，应为$\frac{1}{2}\vert AB\vert$对应计算），化简得$\frac{k^{2}+16}{8}=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{k^{2}+16}$，等式两边同时乘以$8$得$k^{2}+16 = 2\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{k^{2}+16}$，两边平方得$(k^{2}+16)^{2}=4(1 + k^{2})(k^{2}+16)$，因为$k^{2}+16\neq0$，所以$k^{2}+16 = 4(k^{2}+1)$，解得$k^{2}=4$，$k=\pm2$。
综上，答案为：
(1)$\frac{65}{8}$；
(2)存在，$k = \pm2$。