《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 求圆的方程
例 1(全国甲卷)设点 $M$ 在直线 $2x + y - 1 = 0$ 上，点 $(3, 0)$ 和点 $(0, 1)$ 均在 $\odot M$ 上，则 $\odot M$ 的方程为$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$。

答案： 设圆心 $M$ 的坐标为 $(a, b)$，半径为 $r$。
根据题意，点 $M$ 在直线 $2x + y - 1 = 0$ 上，所以：
$2a + b - 1 = 0$，
点 $(3, 0)$ 和点 $(0, 1)$ 均在 $\odot M$ 上，因此：
$\begin{cases}(3 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2, \\(0 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2.\end{cases}$
将两个方程展开并化简：
$\begin{cases}9 - 6a + a^2 + b^2 = r^2, \\a^2 + 1 - 2b + b^2 = r^2.\end{cases}$
由于两个方程都等于 $r^2$，因此有：
$9 - 6a + a^2 + b^2 = a^2 + 1 - 2b + b^2$，
化简得：
$9 - 6a = 1 - 2b \implies 8 - 6a + 2b = 0 \implies 4 - 3a + b = 0$，
联立 $2a + b - 1 = 0$ 和 $4 - 3a + b = 0$，解得：
$\begin{cases}2a + b = 1, \\-3a + b = -4.\end{cases}$
解得 $a = 1$，$b = -1$。
将 $a = 1$，$b = -1$ 代入任意一个距离方程求 $r$：
$r = \sqrt{(3 - 1)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$，
因此，$\odot M$ 的方程为：
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$。