《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 空间向量的加、减及数乘运算
例 1 (1) 如图，在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{DD_1} = $(B)

A.$ \overrightarrow{A_1C} $
B.$ \overrightarrow{AC_1} $
C.$ \overrightarrow{B_1D} $
D.$ \overrightarrow{BD_1} $

答案：
(1)
在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，
因为$\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{CC_1}$，
所以$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AC_1}$。
答案选B。

(2) 如图，在四面体 $ OABC $ 中，$ M $ 在棱 $ OA $ 上，满足 $ \overrightarrow{OM} = 2 \overrightarrow{MA} $，$ N $，$ P $ 分别是 $ BC $，$ MN $ 的中点，设 $ \overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a} $，$ \overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b} $，$ \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c} $，用 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $，$ \boldsymbol{c} $ 表示 $ \overrightarrow{OP} $，则(C)

A.$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\boldsymbol{a} + \frac{1}{4}\boldsymbol{b} + \frac{1}{4}\boldsymbol{c} $
B.$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{1}{4}\boldsymbol{c} $
C.$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{4}\boldsymbol{b} + \frac{1}{4}\boldsymbol{c} $
D.$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \frac{1}{4}\boldsymbol{c} $

答案：
(2)
因为$\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{MA}$，所以$\overrightarrow{OM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$，
又$P$是$MN$的中点，所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$，
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{OM}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$，
因为$N$是$BC$中点，所以$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$，
则$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}[-\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})]=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$，
已知$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c}$，
所以$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}$。
答案选C。

母题 2 空间向量共线、共面问题
例 2 已知 $ O $ 为空间任意一点，$ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 四点共面且任意三点不共线。若 $ 2\overrightarrow{BD} = x\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $，则 $ x $ 的值为-2。

答案： 解析
∵ $ O $ 为空间任意一点，$ 2\overrightarrow{BD} = x\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $，

∴ $ 2(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB}) = x\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $，

∴ $ \overrightarrow{OD} = \frac{x}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} $。

∵ $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 四点共面且任意三点不共线，

∴ $ \frac{x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 1 $，解得 $ x = -2 $。
答案 -2

例 3 (天津卷节选) 如图，在三棱锥 $ P - ABC $ 中，$ PA \perp $ 底面 $ ABC $，$ \angle BAC = 90^{\circ} $。$ D $，$ E $，$ N $ 分别为棱 $ PA $，$ PC $，$ BC $ 的中点，$ M $ 为线段 $ AD $ 的中点，$ PA = AC = 4 $，$ AB = 2 $。求证：$ MN // $ 平面 $ BDE $。

答案：
证明：方法 1：连接 $ AN $（图略）。
∵ $ D $，$ E $ 分别为 $ PA $，$ PC $ 的中点，
∴ $ \overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $。
又
∵ $ M $，$ N $ 分别为 $ AD $，$ BC $ 的中点，
∴ $ \overrightarrow{MA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} $，$ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) $，
∴ $ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DE} $，
∴ 向量 $ \overrightarrow{MN} $，$ \overrightarrow{DB} $，$ \overrightarrow{DE} $ 共面。
∵ $ MN \not\subset $ 平面 $ BDE $，
∴ $ MN // $ 平面 $ BDE $。
方法 2：如图，取 $ AB $ 的中点 $ F $，连接 $ MF $，$ NF $。
∵ $ M $ 为 $ AD $ 的中点，
∴ $ MF // BD $。
∵ $ BD \subset $ 平面 $ BDE $，$ MF \not\subset $ 平面 $ BDE $，
∴ $ MF // $ 平面 $ BDE $。
∵ $ N $ 为 $ BC $ 的中点，
∴ $ NF // AC $。
又 $ D $，$ E $ 分别为 $ PA $，$ PC $ 的中点，
∴ $ DE // AC $，
∴ $ NF // DE $。
∵ $ DE \subset $ 平面 $ BDE $，$ NF \not\subset $ 平面 $ BDE $，
∴ $ NF // $ 平面 $ BDE $。
又 $ MF \cap NF = F $，
∴ 平面 $ MFN // $ 平面 $ BDE $，
∴ $ MN // $ 平面 $ BDE $。