《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3(新课标Ⅱ卷)已知向量 $a$，$b$ 满足 $|a - b| = \sqrt{3}$，$|a + b| = |2a - b|$，则 $|b| =$$\sqrt{3}$。

答案： $\sqrt{3}$

例 4(1)已知单位向量 $e_1$，$e_2$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$，若向量 $a = e_1 + 3e_2$ 与 $b = \lambda e_1 + e_2$ 垂直，则 $\lambda$ 的值为(A)
A.$-\frac{7}{5}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$1$
D.$-1$

答案：
(1)
由题意，$e_1· e_2 = |e_1||e_2|\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$。
因为向量$a = e_1 + 3e_2$与$b = \lambda e_1 + e_2$垂直，所以$a· b = 0$。
即$(e_1 + 3e_2)·(\lambda e_1 + e_2) = \lambda e_1^2 + 3e_2^2 + (3\lambda + 1)e_1· e_2 = 0$。
将$e_1^2 = |e_1|^2 = 1$，$e_2^2 = |e_2|^2 = 1$，$e_1· e_2 = \frac{1}{2}$代入上式得：
$\lambda + 3 + \frac{3\lambda + 1}{2} = 0$，
$2\lambda+6 + 3\lambda + 1 = 0$，
$5\lambda+7 = 0$，
解得$\lambda = -\frac{7}{5}$。
答案：$A$

(2)(多选)已知非零向量 $a\neq e$，$|e| = 1$，对任意的 $t\in\mathbf{R}$，恒有 $|a - te|\geqslant|a - e|$，则(ABD)
A.$a$ 在 $e$ 上的投影向量为 $e$
B.$|a + e|\geqslant|a - 2e|$
C.$a\perp(a - e)$
D.$e\perp(a - e)$

答案：
(2)
设向量$a$，$e$的夹角为$\theta$。
由$|a - te|\geqslant|a - e|$，两边平方得$a^2 + t^2e^2 - 2ta· e\geqslant a^2 + e^2 - 2a· e$。
整理得$t^2 - 2ta· e + 2a· e - 1\geqslant 0$。
因为上式对任意$t\in\mathbf{R}$恒成立，所以$\Delta = 4(a· e)^2 - 8a· e + 4 = 4(a· e - 1)^2\leqslant 0$，则$a· e = 1$。
$a$在$e$上的投影向量为$\frac{a· e}{|e|^2}· e = e$，A选项正确。
$|a + e|^2 - |a - 2e|^2 = a^2 + 2a· e + e^2 - (a^2 - 4a· e + 4e^2) = 6a· e - 3e^2 = 3\gt 0$，所以$|a + e|\geqslant|a - 2e|$，B选项正确。
$a·(a - e) = a^2 - a· e = a^2 - 1$不一定为零，C选项错误。
$e·(a - e) = a· e - e^2 = 1 - 1 = 0$，且$e$，$a - e$均为非零向量，所以$e\perp(a - e)$，D选项正确。
答案：$ABD$