《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 7（新高考Ⅰ卷）如图，直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 的体积为 $ 4 $，$\triangle A_1BC $ 的面积为 $ 2\sqrt{2} $。
(1) 求点 $ A $ 到平面 $ A_1BC $ 的距离；
(2) 设 $ D $ 为 $ A_1C $ 的中点，$ AA_1 = AB $，平面 $ A_1BC\perp $ 平面 $ ABB_1A_1 $，求二面角 $ A - BD - C $ 的正弦值。

答案：
(1)由直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$的体积为$4$，
得$V_{A_1 - ABC}=\frac{1}{3}V_{ABC - A_1B_1C_1}=\frac{4}{3}$。
设点$A$到平面$A_1BC$的距离为$d$，
由$V_{A - A_1BC}=V_{A_1 - ABC}$，
得$\frac{1}{3}S_{\triangle A_1BC}· d=\frac{4}{3}$，
即$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}· d=\frac{4}{3}$，
解得$d = \sqrt{2}$。
所以点$A$到平面$A_1BC$的距离为$\sqrt{2}$。
(2)连接$AB_1$交$A_1B$于点$E$，
因为$AA_1 = AB$，所以四边形$ABB_1A_1$为正方形，
所以$AB_1\perp A_1B$。
因为平面$A_1BC\perp$平面$ABB_1A_1$，平面$A_1BC\cap$平面$ABB_1A_1 = A_1B$，$AB_1\subset$平面$ABB_1A_1$，
所以$AB_1\perp$平面$A_1BC$，
所以$AB_1\perp BC$。
由直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$，知$BB_1\perp$平面$ABC$，
所以$BB_1\perp BC$。
又$AB_1\cap BB_1 = B_1$，$AB_1,BB_1\subset$平面$ABB_1A_1$，
所以$BC\perp$平面$ABB_1A_1$，
所以$BC\perp AB$。
以$B$为坐标原点，$BC,BA,BB_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系。
因为$AA_1 = AB$，
所以$\frac{1}{2}BC·\sqrt{2}AB = 2\sqrt{2}$，
又$\frac{1}{2}AB· BC· AA_1 = 4$，
解得$AB = BC = AA_1 = 2$。
则$B(0,0,0)$，$A(0,2,0)$，$C(2,0,0)$，$A_1(0,2,2)$，$D(1,1,1)$，
所以$\overrightarrow{BA}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{BD}=(1,1,1)$，$\overrightarrow{BC}=(2,0,0)$。
设平面$ABD$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{BA}=2y = 0, \\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{BD}=x + y + z = 0.\end{cases}$
令$x = 1$，则$y = 0$，$z = -1$，
所以$\boldsymbol{n}=(1,0,-1)$。
设平面$BCD$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(a,b,c)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{m}·\overrightarrow{BC}=2a = 0, \\\boldsymbol{m}·\overrightarrow{BD}=a + b + c = 0.\end{cases}$
令$b = 1$，则$a = 0$，$c = -1$，
所以$\boldsymbol{m}=(0,1,-1)$。
所以$\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
所以二面角$A - BD - C$的正弦值为$\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。