《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 4 利用二分法求函数零点近似值
例 4 已知函数 $ f(x) = \sqrt{x} $.
(1) 判断函数 $ f(x) $ 在区间 $[0, +\infty)$ 上的单调性，并用定义证明.
(2) 函数 $ g(x) = f(x) + \log_2x - 2 $ 在区间 $ (1,2) $ 内是否有零点？若有零点，请用二分法求出零点的近似值（精确度 $ 0.3 $）；若没有零点，请说明理由.（参考数据：$ \sqrt{1.25} \approx 1.118 $，$ \sqrt{1.5} \approx 1.225 $，$ \sqrt{1.75} \approx 1.323 $，$ \log_21.25 \approx 0.322 $，$ \log_21.5 \approx 0.585 $，$ \log_21.75 \approx 0.807 $）

答案：
(1) 函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上单调递增。
证明：
设 $x_1, x_2 \in [0, +\infty)$ 且 $x_1 ＜ x_2$，
则 $f(x_1) - f(x_2) = \sqrt{x_1} - \sqrt{x_2} = \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}$，
由于 $x_1 ＜ x_2$，所以 $x_1 - x_2 ＜ 0$，且 $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} ＞ 0$，
因此 $f(x_1) - f(x_2) ＜ 0$，
即 $f(x_1) ＜ f(x_2)$，
所以函数 $f(x)$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上单调递增。
(2)
$g(x) = \sqrt{x} + \log_2{x} - 2$，
计算 $g(1)$ 和 $g(2)$：
$g(1) = \sqrt{1} + \log_2{1} - 2 = 1 + 0 - 2 = -1 ＜ 0$，
$g(2) = \sqrt{2} + \log_2{2} - 2 = \sqrt{2} + 1 - 2 = \sqrt{2} - 1 ＞ 0$，
由于 $g(1) ＜ 0$ 且 $g(2) ＞ 0$，函数 $g(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内有零点。
使用二分法求零点的近似值：
计算 $g(1.5)$：
$g(1.5) = \sqrt{1.5} + \log_2{1.5} - 2 \approx 1.225 + 0.585 - 2 = -0.19 ＜ 0$，
因此，零点在区间 $(1.5, 2)$ 内。
计算 $g(1.75)$：
$g(1.75) = \sqrt{1.75} + \log_2{1.75} - 2 \approx 1.323 + 0.807 - 2 = 0.13 ＞ 0$，
因此，零点在区间 $(1.5, 1.75)$ 内。
由于 $1.75 - 1.5 = 0.25 ＜ 0.3$，满足精确度要求。
因此，函数 $g(x)$ 的零点的近似值为 $1.625$（或区间 $[1.5, 1.75]$ 中的任意一个数，由于题目要求精确度 $0.3$，因此答案不唯一，$1.625$为该区间中点）。

母题 5 二次函数零点分布情况（一元二次方程根的分布） 5年1考
例 5 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2mx + 2m + 1 = 0 $.
(1) 若方程有两根，其中一根在区间 $ (-1,0) $ 内，另一根在区间 $ (1,2) $ 内，求实数 $ m $ 的取值范围；
(2) 若方程两根均在区间 $ (0,1) $ 内，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案：
(1)设$f(x) = x^2 + 2mx + 2m + 1$，由题意得：
$\begin{cases}f(-1) = 2 ＞ 0, \\f(0) = 2m + 1 ＜ 0, \\f(1) = 4m + 2 ＜ 0, \\f(2) = 6m + 5 ＞ 0,\end{cases}$
解得$-\frac{5}{6} ＜ m ＜ -\frac{1}{2}$，
故实数$m$的取值范围为$\left(-\frac{5}{6}, -\frac{1}{2}\right)$。
(2)由题意得：
$\begin{cases}f(0) = 2m + 1 ＞ 0, \\f(1) = 4m + 2 ＞ 0, \\\Delta = (2m)^2 - 4(2m + 1) \geq 0, \\0 ＜ -m ＜ 1,\end{cases}$
解得$-\frac{1}{2} ＜ m \leq 1 - \sqrt{2}$，
故实数$m$的取值范围为\left(-\frac{1}{2}, 1 - \sqrt{2}\right。