《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3 如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AB\perp BC,AA_{1} = AB = BC = 2$，$E$ 为线段 $AB_{1}$ 的中点。求直线 $EC_{1}$ 与平面 $BB_{1}C_{1}C$ 所成角的正切值。

答案： 解：取BB₁的中点F，连接EF，FC₁。
因为E为AB₁的中点，F为BB₁的中点，所以EF//AB，且EF=1/2AB=1。
因为AB⊥BC，EF//AB，所以EF⊥BC。
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，故BB₁⊥AB，又EF//AB，所以EF⊥BB₁。
因为BC∩BB₁=B，BC⊂平面BB₁C₁C，BB₁⊂平面BB₁C₁C，所以EF⊥平面BB₁C₁C，
则∠EC₁F为直线EC₁与平面BB₁C₁C所成的角。
因为BC=2，BB₁=AA₁=2，F为BB₁中点，所以B₁F=1，B₁C₁=BC=2。
在Rt△FB₁C₁中，FC₁=√(B₁C₁²+B₁F²)=√(2²+1²)=√5。
因为EF⊥平面BB₁C₁C，FC₁⊂平面BB₁C₁C，所以EF⊥FC₁。
在Rt△EFC₁中，tan∠EC₁F=EF/FC₁=1/√5=√5/5。
所以直线EC₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值为√5/5。