《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

判断下列各小题中的向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是否共线：
①$\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{b}=-\frac{3}{2}\boldsymbol{e}$；
②$\boldsymbol{a}=-2\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2$（其中两个非零向量$\boldsymbol{e}_1$和$\boldsymbol{e}_2$不共线）；
③$\boldsymbol{a}=\frac{2}{3}\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{a}-\frac{5}{2}\boldsymbol{e}$。

答案： ①
根据向量数乘的定义，若存在实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$，则两向量共线。
已知$\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{b}=-\frac{3}{2}\boldsymbol{e}$，那么$\boldsymbol{b}=-\frac{1}{2}×(3\boldsymbol{e})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，存在实数$\lambda = -\frac{1}{2}$，使得$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$，所以$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线。
②
已知$\boldsymbol{a}=-2\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2$，则$\boldsymbol{a}=-2(\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2)= - 2\boldsymbol{b}$，存在实数$\lambda = - 2$，使得$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线。
③
已知$\boldsymbol{a}=\frac{2}{3}\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{a}-\frac{5}{2}\boldsymbol{e}$，将$\boldsymbol{a}=\frac{2}{3}\boldsymbol{e}$代入$\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{a}-\frac{5}{2}\boldsymbol{e}$可得：
$\boldsymbol{b}=3×\frac{2}{3}\boldsymbol{e}-\frac{5}{2}\boldsymbol{e}=2\boldsymbol{e}-\frac{5}{2}\boldsymbol{e}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{e}$
又因为$\boldsymbol{a}=\frac{2}{3}\boldsymbol{e}$，所以$\boldsymbol{b}=-\frac{3}{4}×\frac{2}{3}\boldsymbol{e}=-\frac{3}{4}\boldsymbol{a}$，存在实数$\lambda = -\frac{3}{4}$，使得$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$，所以$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线。
综上，①②③中的向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$都共线。

已知$|\overrightarrow{AB}| = 6$，$|\overrightarrow{AD}| = 9$，求$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|$的取值范围。

答案： 由向量模的三角不等式知，对于任意向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，有$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||\leq|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$。
令$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}$，$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AD}$，已知$|\boldsymbol{a}|=6$，$|\boldsymbol{b}|=9$，则：
$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||=|6 - 9|=3$，
$|\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|=6 + 9=15$，
故$3\leq|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|\leq15$。
$[3,15]$

计算：
（1）$8(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) - 6(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) - 2(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})$；
（2）$\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}(2\boldsymbol{a}+8\boldsymbol{b})-(4\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\right]$。

答案： 解：（1）原式$=16\boldsymbol{a}-8\boldsymbol{b}+8\boldsymbol{c}-6\boldsymbol{a}+12\boldsymbol{b}-6\boldsymbol{c}-4\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{c}=(16 - 6 - 4)\boldsymbol{a}+(-8 + 12)\boldsymbol{b}+(8 - 6 - 2)\boldsymbol{c}=6\boldsymbol{a}+4\boldsymbol{b}$。
（2）原式$=\frac{1}{3}[\boldsymbol{a}+4\boldsymbol{b}-(4\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})]=\frac{1}{3}(-3\boldsymbol{a}+6\boldsymbol{b})=2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$。

拓展 向量形式的三角不等式
已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，那么$|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$与$|\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}|$及$|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$三者之间的关系为$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||\leq|\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$，此不等式可称为向量形式的三角不等式。
（1）当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$有一个为零向量时，不等式显然成立。
（2）当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为非零向量且不共线时，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB}$，如图1所示。根据三角形的三边关系，则有$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||＜|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|＜|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$。
同理可证$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||＜|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|＜|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$。
（3）当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为非零向量且共线时，①当向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$同向时，如图2所示，此时$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$；②当向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$反向时，不妨设$|\boldsymbol{a}|＞|\boldsymbol{b}|$，如图3所示，此时$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$。
综上所述，得不等式$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||\leq|\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$。
提示：因为$||\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{AD}||\leq|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|\leq|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{AD}|$，且$|\overrightarrow{AB}| = 6$，$|\overrightarrow{AD}| = 9$，所以$3\leq|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|\leq15$。当$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AB}$共线同向时，$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}| = 3$；当$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AB}$共线反向时，$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}| = 15$。故$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|$的取值范围为$[3,15]$。

答案： 根据向量形式的三角不等式 $||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|| \leq |\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}| \leq |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$：
已知 $|\boldsymbol{a}| = |\overrightarrow{AB}| = 6$，$|\boldsymbol{b}| = |\overrightarrow{AD}| = 9$。
对于 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}|$：
$||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|| = |6 - 9| = 3$，
$|\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}| = 6 + 9 = 15$。
根据不等式得 $3 \leq |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}| \leq 15$。
当 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线同向时，$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}| = 3$。
当 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线反向时，$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}| = 15$。
故 $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}|$ 的取值范围为 $[3, 15]$。