《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 3 复数三角形式的除法运算
例 4 (1)复数 $\frac{1}{\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}}$ 的代数形式是$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$；
(2)计算：$8i ÷ 2(\cos 45^{\circ} + i\sin 45^{\circ}) = $$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$.

答案：
(1) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$；
(2) $2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$。

母题 4 复数乘、除运算的几何意义
例 5 (1)如果向量 $\overrightarrow{OZ}$ 对应复数 $-2i$，$\overrightarrow{OZ}$ 绕原点 $O$ 按顺时针方向旋转 $\frac{\pi}{4}$ 后再把模变为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍得到向量 $\overrightarrow{OZ_1}$，那么 $\overrightarrow{OZ_1}$ 对应的复数为-\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i；
(2)把复数 $z_1$ 与 $z_2$ 对应的向量 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$ 分别按逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{5\pi}{3}$ 后，与向量 $\overrightarrow{OM}$ 重合且模相等，已知 $z_2 = -1 - \sqrt{3}i$，求复数 $z_1$ 的代数形式以及它的辐角主值.

答案：
(1)
因为$-2i = 2(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2})$，$\overrightarrow{OZ}$绕原点$O$按顺时针方向旋转$\frac{\pi}{4}$后再把模变为原来的$\frac{3}{2}$倍得到$\overrightarrow{OZ_1}$，
所以$\overrightarrow{OZ_1}$对应的复数为：
$2(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2})×\frac{3}{2}[\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4})]$
$=3[\cos(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4})]$
$=3(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4})$
$=3×(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)$
$=-\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i$
(2)
由题意得$z_1(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}) = z_2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})$。
因为$z_2=-1 - \sqrt{3}i = 2(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})$，
所以$z_1=\frac{2(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})·(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}{\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}}$
$=2[\cos(3\pi - \frac{\pi}{4})+i\sin(3\pi - \frac{\pi}{4})]$
$=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$
$z_1$的辐角主值为$\frac{3\pi}{4}$。
综上，答案依次为：
(1)$-\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i$；
(2)$z_1=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$，辐角主值为$\frac{3\pi}{4}$。