《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例10判断下列函数的奇偶性:

答案：
(1)函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称.
当$x＞0$时，$-x＜0$，$f(-x)=-(-x)^2-2(-x)-3=-x^2+2x-3=-(x^2-2x+3)=-f(x)$；
当$x＜0$时，$-x＞0$，$f(-x)=(-x)^2-2(-x)+3=x^2+2x+3=-(-x^2-2x-3)=-f(x)$；
当$x=0$时，$f(-x)=f(0)=0=-f(0)=-f(x)$.
综上，函数$f(x)$是奇函数.
(2)函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，关于原点对称.
当$x＞0$时，$-x＜0$，$f(-x)=(1+x)(-x+2)=-(1+x)(x-2)=-f(x)$；
当$x＜0$时，$-x＞0$，$f(-x)=(1-x)(-x-2)=-(1-x)(x+2)=-f(x)$.
综上，函数$f(x)$是奇函数.

例11已知f(x)是定义在R上的不
恒为零的函数,且对于任意的a,b∈
R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.

答案：
(1)令$a = b = 0$，则$f(0×0)=0× f(0)+0× f(0)$，即$f(0)=0$。
令$a = b = 1$，则$f(1×1)=1× f(1)+1× f(1)$，即$f(1)=f(1)+f(1)$，$f(1)=0$。
故$f(0)=0$，$f(1)=0$。
(2)$f(x)$是奇函数。
证明：令$a = b=-1$，则$f((-1)×(-1))=(-1)× f(-1)+(-1)× f(-1)$，即$f(1)=-f(-1)-f(-1)$，$0=-2f(-1)$，$f(-1)=0$。
令$a=-1$，$b = x$，则$f(-1× x)=(-1)× f(x)+x× f(-1)$，即$f(-x)=-f(x)+x×0$，$f(-x)=-f(x)$。
所以$f(x)$是奇函数。