《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 3 利用空间向量求距离
例 4（全国Ⅰ卷节选）如图，直四棱柱 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 的底面是菱形，$ AA_1 = 4 $，$ AB = 2 $，$\angle BAD = 60° $，$ E,M,N $ 分别是 $ BC,BB_1,A_1D $ 的中点。求点 $ C $ 到平面 $ C_1DE $ 的距离。

答案： 解：以$ D $为坐标原点，$ DA,DE,DD_1 $所在直线分别为$ x $轴、$ y $轴、$ z $轴，建立空间直角坐标系$ Dxyz $。
则$ D(0,0,0) $，$ C(-1,\sqrt{3},0) $，$ E(0,\sqrt{3},0) $，$ C_1(-1,\sqrt{3},4) $。
$\overrightarrow{DE}=(0,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{DC_1}=(-1,\sqrt{3},4)$，$\overrightarrow{DC}=(-1,\sqrt{3},0)$。
设平面$ C_1DE $的法向量为$ \boldsymbol{n}=(x,y,z) $，则
$\begin{cases} \boldsymbol{n} · \overrightarrow{DC_1}=-x+\sqrt{3}y+4z=0 \\ \boldsymbol{n} · \overrightarrow{DE}=\sqrt{3}y=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=4z \\ y=0 \end{cases}$。
取$ z=1 $，得$ \boldsymbol{n}=(4,0,1) $。
点$ C $到平面$ C_1DE $的距离$ d=\frac{|\overrightarrow{DC} · \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|-1 × 4 + \sqrt{3} × 0 + 0 × 1|}{\sqrt{4^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}$。
故点$ C $到平面$ C_1DE $的距离为$\frac{4\sqrt{17}}{17}$。

（人教 A 版）选择性必修第一册 P44 习题 1.4 T13 如图，已知正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 的棱长为 $ 1 $，$ E $ 为 $ CD $ 的中点，求点 $ D_1 $ 到平面 $ AEC_1 $ 的距离。

答案： $\frac{\sqrt{6}}{3}$