《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 11 已知 $\frac {\sin ^{4}x}{\sin ^{2}y}+\frac {\cos ^{4}x}{\cos ^{2}y}=1$，求证：$\frac {\sin ^{4}y}{\sin ^{2}x}+\frac {\cos ^{4}y}{\cos ^{2}x}=1$。

答案： 由已知$\frac{\sin^{4}x}{\sin^{2}y}+\frac{\cos^{4}x}{\cos^{2}y}=1$，通分可得$\sin^{4}x\cos^{2}y + \cos^{4}x\sin^{2}y=\sin^{2}y\cos^{2}y$。
将$\cos^{2}y = 1 - \sin^{2}y$，$\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$代入上式并化简得$(\sin^{2}x - \sin^{2}y)^{2}=0$，即$\sin^{2}x=\sin^{2}y$，那么$\cos^{2}x=\cos^{2}y$。
将$\sin^{2}y=\sin^{2}x$，$\cos^{2}y=\cos^{2}x$代入$\frac{\sin^{4}y}{\sin^{2}x}+\frac{\cos^{4}y}{\cos^{2}x}$可得$\frac{\sin^{4}x}{\sin^{2}x}+\frac{\cos^{4}x}{\cos^{2}x}=\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$。

（广东卷改编）已知 $\sin(\frac{5\pi}{2} + \alpha) = \frac{1}{5}$，那么 $\cos \alpha =$____。

答案： $\frac{1}{5}$